Скалярное произведение положительно для всех k векторов

[ikozyrev]

Решаю такую задачу:
Пусть даны $k$ независимых векторов в евклидовом пространстве. Доказать что существует вектор, скалярное произведение которого с любым их них - положительно.
Можно всегда выбрать такой вектор в ортонормированном базисе ориентированном также как наш исходный из $k$ векторов, так чтобы проекция этого вектора на любое подпространство образованное двумя векторами из этих $k$ делила угол между ними пополам. Тогда, очевидно, скалярное произведение его на любой вектор из этих $k$ - положительно.
Далее пользуюсь этим:
topic122194.html

Находим такую деформацию нашего ортонормированного базиса с той же ориентацией что и исходный, в исходный, при этом деформируя наш искомый вектор так чтобы его проекция на любое подпространство образованное двумя векторами из этих $k$ делила угол между ними пополам. По непрерывности деформации это сделать всегда возможно, при этом очевидно что между любыми двумя векторами при такой деформации угол не превышает $\pi$, иначе бы у базиса поменялась ориентация, а значит скалярное произведение искомого вектора на любой из базиса -положительно.

Есть ли изъян в таком доказательстве?

[Dmitriy40]

Насчёт положительно кажется Вы чуточку погорячились, скорее неотрицательным. Контрпример: два антипараллельных вектора, скалярное произведение любого третьего с каждым из них будет иметь или разные знаки или два нуля. И тот и другой случай не является положительным.

[Dan B-Yallay]

Dmitriy40 в сообщении #1264193 писал(а):

Контрпример: два антипараллельных вектора

кажется, контрпример не подойдёт:

ikozyrev в сообщении #1264188 писал(а):

даны $k$ независимых векторов в евклидовом пространстве.

-- Пт ноя 10, 2017 14:47:12 --

Попробовал по индукции, вроде легко доказывается. Насчёт "такого" док-ва -- не проверял.

[DeBill]

ikozyrev
Неясно, что Вы имеете в виду под деформацией: линейное преобразование? Оно сохранит углы и проекции???
Не проще ли сразу взять пересечение "биссекториальных плоскостей" (то бишь, прямую, проходящую через центр сферы, касающейся всех прямых вдоль наших векторов).

(Оффтоп)

Или: выпуклая оболочка концевых точек векторов не содержит начало координат, и, значит, есть плоскость, отделяющая его от неё. Нормаль к ней - искомая

.

[mihaild]

Кажется что использовать некоторый простой факт про системы линейных уравнений проще, чем думать о деформациях:)

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1264204 писал(а):

ikozyrev
Неясно, что Вы имеете в виду под деформацией: линейное преобразование? Оно сохранит углы и проекции???
Не проще ли сразу взять пересечение "биссекториальных плоскостей" (то бишь, прямую, проходящую через центр сферы, касающейся всех прямых вдоль наших векторов).

(Оффтоп)

Или: выпуклая оболочка концевых точек векторов не содержит начало координат, и, значит, есть плоскость, отделяющая его от неё. Нормаль к ней - искомая

.

Да, с выпуклой оболочкой изящно, спасибо. А под деформацией я имею ввиду любое непрерыное преобразование сохраняющее ориентацию базиса. При этом искомый вектор все время деформируется так чтобы его проекции на любые думерные плоскости делили угол между базисными векторами пополам. Навернео в итоге и получится пересечение бисекторальных плоскостей :))

-- 11.11.2017, 11:42 --

Dan B-Yallay в сообщении #1264194 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1264193 писал(а):

Контрпример: два антипараллельных вектора

кажется, контрпример не подойдёт:

ikozyrev в сообщении #1264188 писал(а):

даны $k$ независимых векторов в евклидовом пространстве.

-- Пт ноя 10, 2017 14:47:12 --

Попробовал по индукции, вроде легко доказывается. Насчёт "такого" док-ва -- не проверял.

Попробовал по индукции:

Первый шаг очевиден - берем вектор $b = e_1$.
Пусть у нас для $k-1$ - верно, докажем для $k$.
Возьмем $b_k=b_{k-1}+\lambda e_k$

Тогда $(b_k,e_i)=(b_{k-1},e_i)+\lambda (e_k,e_i)$, осталось выбрать такое $\lambda$ чтобы $\lambda (e_k,e_i)$ было положительным при любом $i$. Но они же все могут быть разными по знаку...

[worm2]

mihaild в сообщении #1264208 писал(а):

Кажется что использовать некоторый простой факт про системы линейных уравнений проще, чем думать о деформациях:)

Это же как-то нечестно получается

[svv]

И, что самое ужасное, моментально доказывается существование вектора, скалярное произведение которого с теми $k$ независимыми даёт заданные значения.

[DeBill]

ikozyrev в сообщении #1264250 писал(а):

При этом искомый вектор все время деформируется так чтобы его проекции на любые думерные плоскости делили угол между базисными векторами пополам

Ну, я так и понял, вопрос в том: почему она такая существует?

ikozyrev в сообщении #1264250 писал(а):

Навернео в итоге и получится

Ага. Вот только и про него - что оно непусто - тоже надо доказывать (как в школе, про пересечение трех биссектрис в одной точке)

[Dan B-Yallay]

ikozyrev в сообщении #1264250 писал(а):

Попробовал по индукции:

Я нашёл в у себя в рассуждениях изъян с которым надо разобраться, но лень. Лучше воспользоваться двумя другими предложенными решениями. Оба они изящные. Последний я бы сказал, черезчур.

[ikozyrev]

svv в сообщении #1264320 писал(а):

И, что самое ужасное, моментально доказывается существование вектора, скалярное произведение которого с теми $k$ независимыми даёт заданные значения.

Ну да, действительно элементарно. Почему-то самые очевидные решения проглядываются...