Распределение вероятностей с отрицательной асимметрией

[Someone]

Andrey_Kireew в сообщении #1263801 писал(а):

хотя по существу Вам сообщить нечего

Как раз я всё по существу написал: ewert предложил взять известное распределение с положительной асимметрией и заменить в нём $x$ на $-x$. Чем Вам этот совет не понравился? Берите любое "аналитическое" распределение, хоть $f(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi(1+a^2)}\cdot\frac{x^2+a^2}{(x^2+x+1)^2}$, считайте в нём асимметрию, если она положительная — меняйте $x$ на $-x$. Чем Вас это не устраивает? Я Вам об этом напомнил.

[Andrey_Kireew]

Someone в сообщении #1263808 писал(а):

Как раз я всё по существу написал ... взять известное распределение с положительной асимметрией и заменить в нём $x$ на $-x$. Чем Вам этот совет не понравился?

Это очевидные вещи, я давно уже не школьник. Где же взять распределение с положительной асимметрией? Только Александрович предложил то, что нужно. Ну и Евгений Машеров тоже, хотя там есть один недостаток, о чём я и сообщил.

По вашему уравнению я построил график - асимметрии никакой там нет.

[Someone]

Andrey_Kireew в сообщении #1263813 писал(а):

Где же взять распределение с положительной асимметрией?

А посмотреть на потолок и списать оттуда. С какими-нибудь неопределёнными коэффициентами, которые подобрать так, чтобы получилась плотность вероятности, и чтобы была нужная асимметрия.

ewert в сообщении #1263465 писал(а):

Пример очень легко нарисовать, … Т.е. не очень понятно, зачем вообще этот вопрос.

Andrey_Kireew в сообщении #1263813 писал(а):

По вашему уравнению я построил график - асимметрии никакой там нет.

Вы собрались увидеть асимметрию, просто посмотрев на график? Ну-ну. А я то рассчитывал, что Вы начнёте считать и обнаружите, что несобственный интеграл для математического ожидания расходится, и попеняете мне за это. А потом Вы догадаетесь, как нужно изменить плотность вероятности, чтобы существовали моменты до третьего порядка включительно (а изменение требуется мизерное), после чего сосчитаете асимметрию и, к своему удовольствию, обнаружите, что она отрицательная.

[Andrey_Kireew]

Значит зря надеялись. Видимо у меня не такая бурная фантазия.

[Someone]

Ну ладно. Можно взять за основу плотность вероятности вида

$$f(x)=A\frac{x^2+a^2}{(x^2+x+1)^n},\eqno(1)$$

или даже более общую функцию

$$f(x)=A\frac{(x-b)^2+a^2}{((x-d)^2+c^2)^n}.\eqno(2)$$

Чтобы интегралы вычислялись в элементарных функциях, число $n$ должно быть целым или полуцелым.
Для существования момента порядка $m$ должен сходиться интеграл

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^mf(x)dx.\eqno(3)$$

Условие сходимости имеет вид "степень знаменателя—степень числителя>1", то есть, $2n-(m+2)>1$. Вам нужна асимметрия, а она выражается через момент третьего порядка, то есть, $m=3$, поэтому $n>3$. Значит, годятся значения $\frac 72$, $4$ и так далее.
Коэффициент $A$ находится из условия

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1.\eqno(4)$$

Впрочем, это в учебниках по теории вероятностей написано.
Потом надо вычислить моменты первого, второго и третьего порядка, выразить через них асимметрию. Ну, интегралы Вы уж сами считайте, Wolfram Mathematica Вам в помощь, или чем Вы там пользуетесь.

[Andrey_Kireew]

Теперь понятно. Надо в таблице интегралов посмотреть, где то была у меня книжка хорошая с ними. Вообще подход многообещающий, дроби мне подойдут лучше всего. Спасибо!

[Евгений Машеров]

Систематический подход к получению распределений с заданными параметрами даёт ряд Эджворта (правда, это всё-таки асимптотика). Распределения, у которых асимметрия и эксцесс равны заданным, могут быть получены в семействе распределений Пирсона.

[Александрович]

Помимо закона распределения важно указать также случайную величину, распределённую по этому закону.

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1263943 писал(а):

Помимо закона распределения важно указать также случайную величину, распределённую по этому закону.

Так точно, товарищ капитан!

[Евгений Машеров]

Вообще, отрицательная асимметрия это "левый хвост длиннее", вероятность больших значений в отрицательную сторону выше, чем в положительную. А поскольку значительное количество наблюдаемых величин оказывается положительными, а другие положительны "по построению" (скажем, $\chi^2$ это распределение сумм квадратов), то и готовые распределения с положительной асимметрией найти оказывается легче, чем с отрицательной.
Однако принципиальных трудностей тут нет, здесь скорее embarras de richesses , "затруднение от избытка". И чтобы Вам действительно помочь, а не упражняться в гаданиях, хорошо бы знать "на фига" (рифму от Андрея Вознесенского не привожу). Если содержательную постановку давать Вам по какой-то причине нежелательно, то сформулируйте хотя бы формальные требования к распределению. Угадать, к примеру, Вашу аллергию на точки перегиба мне было бы сложновато.
В качестве ещё одного варианта, набрасываемого в ожидании Ваших требований, назову бета-распределение:
$f(x;\alpha,\beta)=\frac 1 {B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$
с асимметрией
$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Оно, в таком виде, сосредоточено меж 0 и 1, но нетрудно привести и к иному интервалу, в котором должна быть сосредоточена с.в.