Вывод уравнения адиабатного процесса на основе МКТГ

[Rustam Iskenderov]

Уравнение адиабатного процесса идеального газа, как известно, выводится термодинамическим методом (или, что то же, средствами феноменологической физики); то есть газ рассматривают как сплошную сжимаемую среду и оперируют его такими макропараметрами, как давление, удельный объём, абсолютная температура, а также удельными изохорной и изобарной теплоёмкостями. При попытке же вывод осуществить исходя из молекулярно-кинетической теории газов (МКТГ), то есть рассмотрением механизма процесса на молекулярном уровне, указанная теория "сталкивается с серьёзными трудностями при попытке перейти от приблизительных качественных объяснений к точным количественным расчётам. Эти трудности связаны, с одной стороны, с неполнотой наших знаний о силах взаимодействия молекул, с другой стороны они обусловлены чрезвычайно большим числом взаимодействующих между собой тел" (О.Ф.Кабардин и др. Факультативный курс физики, 9-й класс. М., Просвещение, 1978; с.48). Учитывая того, что вывод уравнения на основе МКТГ свидетельствовал бы о расширенных возможностях теории, я предпринял такую попытку, результат которой представляю на ваш суд.
Пусть идеальный однородный газ сжимается или расширяется в цилиндре поршнем. Текущее расстояние между поршнем и дном цилиндра обозначим через $s$. Скорость поршня $v_p\ll v_m$ ($v_m$ – среднеквадратичная скорость молекул). Ось $x$ направим от дна цилиндра к поршню. Проекцию скорости $k$-й молекулы на ось $x$ обозначим через $v_{kx}$. Эта молекула, преодолевая расстояние $s$ туда и обратно, за единицу времени совершает $\nu= \frac{v_{kx}}{2s}}$ ударов о поршень. Относительно к поршню скорость молекулы при приближении к последнему $v_{kx}+v_p$; эта относительная скорость сохраняется и после удара. Значит, абсолютная скорость в результате удара приобретает приращение $2v_p$. Приращение энергии за один удар
$$\Delta$ $E_{kx1}= \frac{m_0}{2}}[(v_{kx}+2v_p)^2-v_{kx}^2]= 2m_0v_{kx}v_p$$
($m_0$ – масса молекулы).
Чтобы определить приращение энергии за единицу времени, эту величину нужно умножить на число ударов в единицу времени:
$\nu\Delta$ $E_{kx1}= \frac{v_{kx}}{2s}}2m_0v_{kx}v_p= m_0v_{kx}^2\frac{v_p}{s}}$.
Расстояние |$s$| поршень преодолевает за время $\Delta$ $t=$|$\Delta$ $s$/$v_p$|. Так как при сжатии vp > 0, $\Delta s < 0$, а при расширении наоборот, то $\Delta t= -\frac{\Delta s}{v_p}}$. Тогда приращение энергии за время $\Delta t$
$\Delta E_{kx}= \nu\Delta E_{kx1}\Delta t= -m_0v_{kx}^2\frac{v_p}{s}}\frac{\Delta s}{v_p}}= -m_0v_{kx}^2\frac{\Delta s}{s}}$ .
Приращение энергии всех N молекул:
$\Delta E= \sum\limits_{k=1}^N\Delta E_{kx}= -m_0\frac{\Delta s}{s}}\sum\limits_{k=1}^N v_{kx}^2= -m_0Nv_{mx}^2\frac{\Delta s}{s}}= -2E_{mx}\frac{\Delta s}{s}}$ .
Выше $v_{mx}$ – среднеквадратичная скорость молекул по оси $x$ , $E_{mx}= Nm_0\frac{v_{mx}^2}{2}}$ – средняя кинетическая энергия всех молекул, приходящаяся на ось $x$ .
Поскольку согласно закону равнораспределения не только кинетическая энергия молекул, но и их приращение $\Delta E$ распределяется поровну между степенями свободы $i$ молекул, то можем написать $\Delta E= i\Delta E_{mx}$. Следовательно, $i\Delta E_{mx}= -2E_{mx}\frac{\Delta s}{s}}$.
Переходя к бесконечно малым приращениям, получаем дифференциальное уравнение $\frac{d\Delta E_{mx}}{E_{mx}}}= -\frac{2}{i}}\frac{ds}{s}}$. Имеем также:
$\frac{dE_{mx}}{E_{mx}}}= \frac{d(m_0v_{mx}^2/2)}{m_0v_{mx}^2/2}}= \frac{2dv_{mx}}{v_{mx}}}= \frac{2dv_m}{v_m}}$;
$\frac{ds}{s}}= \frac{d(V/F)}{V/F}}= \frac{dV}{V}}= \frac{d(1/n)}{1/n}}= -\frac{dn}{n}}$.
Здесь $F$ – площадь поперечного сечения цилиндра, $V$ - текущий объем цилиндра, $n$ - текущая концентрация молекул. Учитывая последние два выражения в дифференциальном уравнении, получаем $\frac{dv_m}{v_m}}= \frac{dn}{in}}$, решение чего дает $\frac{v_m}{n^{1/i}}}= const$.
Последние две формулы представляют собой уравнения адиабатного процесса идеального газа через микропараметры $v_m$, $n$ и $i$ в дифференциальном и конечном виде. С целью перехода к макропараметрам пользуемся следующими зависимостями:
$v_m^2\sim{T}$, $n\sim{1/V}$, $pV\sim{T}$, $c_v= \frac{iR}{2}}$ или $i= \frac{2c_v}{R}}$ ($R$ - газовая постоянная); $c_p-c_v= R$ .
Опуская промежуточные выкладки, получаем: $pV^{c_p/c_v}= const$ . Здесь безразмерная величина $c_p/c_v$ обозначается через $\gamma$ и называется адиабатным показателем. Таким образом приходим к известному уравнению адиабатного процесса $pV^\gamma= const$ , где $\gamma= \frac{c_p}{c_v}}$.
В заключение замечу, что мои поиски существования подобного вывода с начала 80-х годов по настоящее время не увенчались успехом.

[Dmitriy40]

Что именно предлагается к обсуждению?

[DimaM]

Rustam Iskenderov в сообщении #1261771 писал(а):

Эта молекула, преодолевая расстояние $s$ туда и обратно, за единицу времени совершает $\nu= \frac{v_{kx}}{2s}$ ударов о поршень.

Говорить про давление и температуру можно только если длина свободного пробега $\lambda\ll s$.

[Metford]

DimaM в сообщении #1261791 писал(а):

Говорить про давление и температуру можно только если длина свободного пробега $\lambda\ll s$.

Про давление на стенку сосуда - вполне можно. С температурой да - дело тонкое. Ультраразреженные газы ведь рассматривают как-то.

Вообще, пока непонятен предмет обсуждения, в самом деле.

[Rustam Iskenderov]

Ответ Dmitriy40. Мне в первую очередь интересно знать: был ли когда-нибудь осуществлён такой вывод - на основе мол.-кин. теории газов? Потом, конечно, рад буду дельным замечаниям.
Ответ DimaM. При изучении газовых процессов на молекулярном уровне зачастую соударениями между молекулами пренебрегают и исходят из схемы, когда молекула преодолевает расстояние от своего местонахождения до стенки сосуда беспрепятственно: это на достоверность полученного результата не влияет. Так сделано, например, при выводе основного уравнения МКТГ $p= \frac {m_0nv_m^2}{3}$ .

[DimaM]

Rustam Iskenderov в сообщении #1261807 писал(а):

Так сделано, например, при выводе основного уравнения МКТГ $p= \frac {m_0nv_m^2}{3}$ .

Сделано именно "молекула преодолевает расстояние от своего местонахождения до стенки сосуда беспрепятственно". Вы же пишете, будто молекула летает от стенки до стенки без столкновений - значит, в сосуде у вас вакуум, давление и температура в котором не определено.
Плюс еще упругие удары молекул о стенку - это тоже далеко от происходящего на самом деле.

(Оффтоп)

Также здесь положено указывать имя так, как написано - для этого можно нажать на ник слева от поля сообщения.

[Rustam Iskenderov]

Ответ Metford. Обсуждения по материалу фактически уже начались: DimaМ пишет о длине свободного пробега, вы отвечаете по этому поводу. Кроме того, в начале 80-х в одном учебном пособии читал (цитирую): "Молекулярно-кинетическая теория сталкивается с серьёзными трудностями при попытке перейти от приблизительных качественных объяснений к точным количественным расчётам [Речь идёт об адиабатном процессе - Р.И.]. Эти трудности связаны, с одной стороны, с неполнотой наших знаний о силах взаимодействия молекул, с другой стороны, они обусловлены чрезвычайно большим числом взаимодействующих между собой тел". В те же годы я вывел известное уравнение на основе МКТГ - сначала исключительно средствами школьной математики, затем через дифференциальное уравнение.

[DimaM]

Rustam Iskenderov в сообщении #1261818 писал(а):

Кроме того, в начале 80-х в одном учебном пособии читал (цитирую): "Молекулярно-кинетическая теория сталкивается с серьёзными трудностями при попытке перейти от приблизительных качественных объяснений к точным количественным расчётам [Речь идёт об адиабатном процессе - Р.И.]. Эти трудности связаны, с одной стороны, с неполнотой наших знаний о силах взаимодействия молекул, с другой стороны, они обусловлены чрезвычайно большим числом взаимодействующих между собой тел".

Да, это проблема: написано слишком много плохих учебных пособий.

[Rustam Iskenderov]

DimaM
Уточню, как это делается в учебниках. Молекулы условно делятся на три равные части, каждая из которых двигаются беспрепятственно (независимо от их концентрации) по отдельной координатной оси, "от стенки к стенке". При столкновении со стенкой молекулы рассматриваются как упругие шарики, стенки же считаются идеально гладкими.

[DimaM]

Rustam Iskenderov в сообщении #1261822 писал(а):

Уточню, как это делается в учебниках. Молекулы условно делятся на три равные части, каждая из которых двигаются беспрепятственно (независимо от их концентрации) по отдельной координатной оси, "от стенки к стенку". При столкновении со стенкой молекулы рассматриваются как упругие шарики, стенки же считаются идеально гладкими.

Так делается в плохих учебниках. Такие учебники нужно закрыть и никогда больше не открывать.

[Rustam Iskenderov]

DimaM

"Так делается в плохих учебниках. Такие учебники нужно закрыть и никогда больше не открывать".

Надо будет искать хорошие учебники. Физику и в средней, и в высшей школе учили по другим учебникам. Да и в 1968-81 гг., когда вёл практические занятия в т.ч. по техн. термодинамике, вывод основного уравнения я "закреплял" у студентов по старой методике. Которая, кстати, дала уравнение, верность которого до сих пор не подвергается под сомнение.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы, в частности, разбивать их на отдельные маленькие кусочки совершенно не требуется (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- хотелось бы все же увидеть четкую формулировку предмета обсуждения; в существующем виде это не слишком изящная попытка почесать правой ногой левое ухо, ценность которой (даже после устранения недостатков), скажем так, неочевидна;
- ники участников искажать не надо.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.