Колебания физического маятника

[PlotF]

Маятник (в виде буквы Т) изготовлен из двух однородных стержней длиной $l$ и массой $m.$ Он колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину горизонтального стержня . Определить момент силы тяжести относительно оси вращения и угловое ускорение маятника в момент времени, когда он отклонён из положения равновесия на $30^\circ$
Возникло несколько вопросов.
1) Нашёл центр масс этого маятника. Он находится на расстоянии $\frac{l}{4}$ от оси вращения вдоль вертикальной перекладины. Масса, которая сконцентирована $2m$. Момент силы тяжести $M = \frac{l}{4} \cdot \sin(30^\circ)\cdot 2\cdot m = \frac{m \cdot g \cdot l}{4}$. Так же получился, если проигнорировать горизонтальную перекладину ( проходит через ось, поэтому момент равен 0 ), а учесть только вертикульную $M = \frac{m \cdot l}{2} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{m \cdot g \cdot l}{4}$. Применимо к моей ситуации это выявляет физический смысл или случайность? Или оба ответа неправильные?
2) Составил аналог второго закона Ньютона $I \cdot \varepsilon_z = \Sigma M_z .$
$\frac{5}{12}ml \cdot \varepsilon_z = \frac{m \cdot g \cdot l}{4}, $ отсюда $\varepsilon_z = \frac{3g}{5l}$ Правильно?
3) Если это физический маятник, то я могу записать уравнение динамики физического маятника (вращательного движения) $\varphi(t) = \varphi_m \cdot \cos(\omega_0t + \varphi_0)$
$\varphi(t) = \frac{\pi}{6} \cdot \cos(\sqrt{\frac{mgd}{I}}t + \varphi_0)$, где $d$ - расстояние от оси вращения до центра масс и $\varphi_0 = 0.$ Получается я могу продифференцировать это выражение дважды и получить нужное мне ускорение ?
При $t=0$ получается угол отклонения $\varphi(0) = \frac{\pi}{6}$
4) Получиться ли такой же ответ, если перейти к эквивалентному математическому маятнику ? Формула приведенного маятника и всё такое.
5) Возможно ли решить задачу через законы сохранения или работы ?
P.S
Немного вперёд решаю и разбираюсь, преподаватель пробубнил что-то не очень понятное, а переспрашивать я энтузиазмом не горел.

[fred1996]

PlotF
В пункте 1 оба ответа правильные. И это не случайность. Потому что вы можете находить момент сил по отдельности, либо считать общий момент относительно ЦТ всей конструкции.
Это эквивалентные вещи.
В пункте 2 ответ неверный.
Если вы в левой части пользуетесь угловым ускорением, в правой части у вас должно стоять малое угловое отклонение, да еще со знаком минус.
В пункте 3 вы уже не можете просто так продифференцировать. Поскольку все формулы верны только для малых колебаний. То есть ускорение, которое вы нашли в п 2 не совпадет с тем, что вы найдете для конкретного немаленького угла.
4. Физический маятник можно всегда заменить эквивалентным математическим
5. Все задачи на простые колебания решаются двумя способами. Первый способ через законы Ньютона, второй энергетический. Через связь максимальной скорости с амплитудой.

[PlotF]

fred1996
Спасибо. Попытаюсь решить энергетическим методом.

[PlotF]

fred1996
А с чего начать решать через энергетический метод? Попытался заменить весь маятник на материальную точку массой $2m$ на расстоянии $l/4$ от оси вращения.
Выразил высоту точки с максимальным отклонением $h = \frac{l}{4}(1-\sin(\varphi))$
$2mgh = \frac{mV^2_{\max}}{2}$.Вытащить отсюда скорость не проблема, но как из скорости сделать ускорение ума не приложу. Вроде нужно же найти ускорение при отклонении в 30 градусов. Я запутался.
Если физ.маятник заменить на математический, то он будет эквивалентен только при малых отклонениях? Мне в этой задаче это не поможет?

-- 15.10.2017, 18:58 --

Записал
$\frac{mgl(1-\sin(\varphi))}{2}= I\frac{\omega^2}{2}$ Как отсюда вытащить угловое ускорение?
Интересно другое, посмотрел какие колебания считаются малыми, углы до $30^\circ$ Вот здесь Там решена почти моя задачка, удивительное рядом.

-- 15.10.2017, 19:25 --

Взял две производных $\alpha(t) = \frac{\pi}{6} \cos(\sqrt{\frac{6g}{5l}}t)$ и получил $\frac{\pi g}{5l}$, через аналог второго закона Ньютона получилось $ \frac{3g}{5l} $. Каша какая - то получается.

[fred1996]

PlotF
Вообще говоря для физического маятника можно подобрать так математический маятник, что он будет так же колебаться. Поскольку их движения будут описываться одинаковыми дифурами. Хотя их колебания при больших амплитудах не гармоничны. Но на этом зацикливаться не стоит. Не надо пытаться всякий раз заменить физический маятник математическим.
Энергетический подход состоит в следующем.
Если у вас амплитуда колебаний $A$, а максимальная скорость $v$, то угловая частота $\omega$ находится из соотношеия $V=\omega A$
Теперь вспомним, как считать полную энергию системы. Она равна кинетическая плюс потенциальная. Потенциальная для гармонических колебаний зависит квадратично от отклонения, а кинетическая квадратично от скорости. В точке, где отклонение максимально, оно равно амплитуде, а скорость равна нулю. То есть полная энергия выходит квадратична по кмплитуде. Для пружинного маятника это $\frac12 kA^2$. С другой стороны в точке равновесия отклонение ноль, а скорость максимальна. То есть получается что полная энергия еще квадратична по максимальной скорости. Для пружинного маятника это $\frac12 m V^2$
Остается приравнять их. Получим $\frac12 kA^2=\frac12 mV^2$. Или $V=\sqrt{\frac km}$. Отсюда $\omega=\sqrt{\frac km}$

-- 15.10.2017, 07:45 --

PlotF в сообщении #1255848 писал(а):

Взял две производных $\alpha(t) = \frac{\pi}{6} \cos(\sqrt{\frac{6g}{5l}}t)$ и получил $\frac{\pi g}{5l}$, через аналог второго закона Ньютона получилось $ \frac{3g}{5l} $. Каша какая - то получается.

У вас каша потому что при конечных углах колебания перестают быть гармоническими. И уже не описываются в точности косинусоидальной зависимостью. При увеличении амплитуды колебаний период чуток растет. И для прямого угла превышает период малых колебаний примерно на 5%, если я не вру.

-- 15.10.2017, 07:56 --

Цитата:

Записал
$\frac{mgl(1-\sin(\varphi))}{2}= I\frac{\omega^2}{2}$ Как отсюда вытащить угловое ускорение?

Во первых неправильно записали. Вы же меряете угол от вертикали.
Тогда потенциальная энергия равна $mgl(1-\cos \varphi_0)$
Вам надо для малых амплитуд разложить косинус до второго члена.
А дальше найти зависимость $\omega_0$ от $\varphi_0$
Ускорения тут уже вам не нужны.

[PlotF]

fred1996
Это точно задачка первого курса? Посмотрел книгу, которая является основой для лекций. Там про гармонические колебания, вообще про колебания, ничего нет.
Везде, где я находил описания гармонических колебания, пишут про пружинный маяник и нигде про нитяной. Я в тупике.
Почему ускорения не нужны? Мне же его как раз и нужно найти.
Попроще решить можно?
Я в панике. Уровень семинаров и задач на лекциях слишком уж недотягивает.
А как найти зависимость $\omega_o $ и $\varphi_o$ ? Чувствую себя слишком тупым для этой задачи.

[Metford]

PlotF
Это задача как раз для первого курса. В таких задачах колебания всегда малые, а потому могут считаться гармоническими. Приближённо.
Скажем, даже если Вы захотите рассмотреть совсем простой математический маятник, то придёте к уравнению

$$\frac{d^2\varphi}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\varphi=0.$$

Решить его можно, но в специальных функциях - там т.н. эллиптические функции появятся. Это всё интересно, но, действительно, уже не для первого курса. И в книгах по механике это описывается - только в несколько продвинутых. Чтобы математический маятник "заколебался" гармонически, его нужно хитро подвесить - маятник Гюйгенса это называется по-моему. Если же не извращаться, то можно рассматривать малые колебания, тогда $\sin\varphi\simeq\varphi$, и получается уравнение гармонических колебаний. С энергетических позиций это как раз всё равно, что разложить потенциальную энергию по Тейлору до второго приближения в окрестности положения равновесия - т.н. гармоническое приближение.

[Munin]

Metford в сообщении #1255886 писал(а):

Чтобы математический маятник "заколебался" гармонически, его нужно хитро подвесить - маятник Гюйгенса это называется по-моему.

Это с циклоидными щёчками вокруг нити?

[PlotF]

Вот учебник На всякий случай.
Как записывать полную энергию системы я знаю. На это задачки решал.
Потенциальная энергия при максимальном отклонении в $\varphi_0 $ градусов :
$\frac{mgl(1-\cos(\varphi_0))}{2}$ с этим всё понятно.
Циклическая частота этого маятника равна :
$\sqrt{\frac{6g}{5l}}$
Зависимость максимальной скорости и амлитуды :
$\omega_0 A=V_m$
Разложить косинус до двух членов я смогу, но что писать справа от знака равно?
$\frac{mgl(1-\cos(\varphi_0))}{2} = ?$

[fred1996]

PlotF
Прчему вы делите пополам?
Нарисуйте крартинку. По ней видно что изменение высоты $l(1-\cos\varphi_0)$
И дальше разлагаете косинус до второго члена. Единичка сокращается, остается квадратичный член.

-- 15.10.2017, 09:48 --

Munin в сообщении #1255890 писал(а):

Metford в сообщении #1255886 писал(а):

Чтобы математический маятник "заколебался" гармонически, его нужно хитро подвесить - маятник Гюйгенса это называется по-моему.

Это с циклоидными щёчками вокруг нити?

Вот, на ютюбе нашел:
https://m.youtube.com/watch?v=r6kbWBrE8S8

[PlotF]

fred1996
Вопрос, а что делать, если угол равен 90?

Разложил получилось $\frac{mgl\varphi^2_0}{2}$

Допустим в случае маятника нитяного $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Вот нашёл, оно? http://www.eduspb.com/node/1782

P.S.
Честно хочу очень сильно разобраться, но то, что вы мне рассказываете не уровень тому, что происходит у нас на семинарах и лекциях. Ищу в интернете, становится ещё хуже. Хоть проси кого-нибудь решить и объяснить.

[Metford]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1255897 писал(а):

Вот, на ютюбе нашел:

Да не в YouTube нужно такие вещи искать... В книгах нужно. Все подробности у Зоммерфельда в "Механике" есть.

PlotF в сообщении #1255907 писал(а):

Честно хочу очень сильно разобраться, но то, что вы мне рассказываете не уровень тому, что происходит у нас на семинарах и лекциях. Ищу в интернете, становится ещё хуже.

PlotF
Не нужно - совсем не нужно - искать такие вещи в интернете. Методичка, которую Вы показали, мягко говоря, не впечатлила. Там колебаниям даже раздел не выделен. В ссылках на литературу есть учебник Савельева. Я не отношусь к его фанатам - опять-таки мягко говоря - но он на пару порядков лучше. Его посмотрите. Или учебник Иродова "Основные законы механики" - там задач много разобрано, и вполне возможно (не помню сейчас точно), что есть и похожие задачи - вроде Вашей. Это не призыв переписать что-то, а возможность разобраться.

[fred1996]

PlotF
Понимаете, то что вам говорят на лекциях - это как-бы первый уровень понимания.
Вас заставляют написать уравнение движения так, чтобы в конце концов получить что ускорение пропорционально смещению от равновесия и направлено в обратную сторону.
Тогда говорится, что мы получаем известный дифур второго порядка и знаем как его решать. Решение такого дифура - это косинус с двумя константами. Одна константа амплитуда, вторая - начальная фаза.
Есть другой подход из теормеха - через Лагранжиан.
Но есть и более понятный подход для первокурсников - эгергетический.
Его преимущество перед силовым подходом в том, что во многих задачах не так то просто расписать все силы. Гораздо проще бывает сосчитат кинетические и потенциальные энергии.

Угол 90 градусов вообще не берите. Вам же уже написали, что для больших углов гармоническая апроксимация не годится. Для них синус угла совсем не равен углу в радианах. У вас $\sin\frac{\pi}{2}=1$, а $\frac{\pi}{2}=1.57$

[PlotF]

fred1996
Спасибо, буду думать.
Нам на лекциях сказали, что на них рассказывают всё необходимое.

[fred1996]

Metford
В книжках итак известно про циклоиду Гюйгенса. А вот на ютюбе очень часто можно найти наглядное подтверждение всем этим математическим и физическим фокусам.
15 лет назад этого ничего не было, а сейчас есть. Так что рекомендую не пренебрегать ютюбом. Ютюб и википедия рулят! :)

-- 15.10.2017, 11:37 --

PlotF в сообщении #1255928 писал(а):

fred1996
Спасибо, буду думать.
Нам на лекциях сказали, что на них рассказывают всё необходимое.

Все необходимое для сдачи зачетов и экзаменов. Но зачеты и экзамены - это не конечная точка, а скорее начальная. Там где педант-начетчик останавливается, пытливый ум только просыпается.