2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 из пушки стрельнули
Сообщение10.10.2017, 20:43 


31/08/17
90
Из пушки выстреливается снаряд с начальной скоростью $u>0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Масса снаряда $m$, сила сопротивления воздуха пропорциональна по модулю квадрату скорости снаряда и направлена против скорости: $\boldsymbol F=-\gamma|\boldsymbol v|\boldsymbol v,\quad \gamma=const>0$. Какова скорость снаряда в тот момент, когда он поднимется на максимальную высоту? Движение происходит в стандартном поле тяжести $\boldsymbol g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение10.10.2017, 23:54 


20/04/10
414
Русь
Пусть $\varphi$ угол между скоростью и горизонтальной осью. Выпишем тангенциальное и нормальное ускорение тела:
$$\dot{v}=-\frac{\gamma}{m}v^2-g\sin{\varphi}$$$$\dot{\varphi} v=-g\cos{\varphi}$$
Для угла получается уравнение $\ddot{\varphi}+2\tg{\varphi}\,\, \dot{\varphi}^2+{\gamma\over m}\, g\,\cos{\varphi}=0$, начальные данные $\varphi(0)=\alpha,\,\, \dot{\varphi}(0)=-g\cos{\alpha}/v_0$. Решив это уравнение, находим момент $\tau$, такой что $\varphi(\tau)=0.$ Тогда $v(\tau)=-g/\dot{\varphi}(\tau)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 00:11 
Аватара пользователя


22/06/12
736
$$v^2 = \dfrac{u^2 \cos^2 \alpha}{1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\tg \alpha + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)}$$

P. S. Обошёлся обыкновенным интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 00:24 


20/04/10
414
Русь
Видимо, это и есть верное решение. Формула убедительная.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 00:44 
Аватара пользователя


22/06/12
736
Обобщить на закон сопротивления $\mathbf F = - k v^{n-1} \mathbf v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 03:03 
Аватара пользователя


22/06/12
736
Прошу прощения, в моём ответе опечатка. Должно быть:
$$
v^2 = \dfrac{u^2 \cos^2 \alpha}{1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left( {\color{blue}{\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha}}} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 16:41 
Заслуженный участник


03/01/09
1153
москва
Как продолжение: найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 21:57 
Аватара пользователя


22/06/12
736
mihiv в сообщении #1254832 писал(а):
найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

$$
s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right].
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 22:31 


31/08/17
90
Ну да, все крутится вокруг этого красивого и известного давно приема: раскладывать уравнение движения точки по реперу Френе траектории
$$m\ddot s=-mg\sin\varphi-\gamma\dot s^2;\quad k(s)\dot s^2=g\cos\varphi;\quad k(s)=-\frac{d\varphi}{ds};$$
и отсюда уравнение Бернулли:
$$\frac{dv}{d\varphi}=v g\tg\varphi+\frac{\gamma}{mg\cos\varphi}v^3,\quad v=\dot s$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 23:35 


30/03/08
175
St.Peterburg
mihiv в сообщении #1254832 писал(а):
Как продолжение: найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.



Уравнение изменения кинетической энергии:
$$\dfrac{m}{2}\dfrac{d(v^2)}{ds}=-\gamma v^2-mg\sin(\varphi)$$
Центростремительное ускорение:
$$\dfrac{d\varphi}{ds}v^2=-g\cos(\varphi)$$

Тогда для $z(\varphi)=v^2(\varphi)$ получаем уравнение Бернулли:

$$\dfrac{dz}{d\varphi}-2\tan(\varphi)z-\dfrac{2\gamma}{mg}\dfrac{z^2}{cos(\varphi)}=0$$

$$s(\varphi)=\dfrac{m}{2\gamma}\ln\left(\dfrac{u^2}{v^2}\right)+\dfrac{m}{\gamma}\ln\left( \dfrac{\cos(\alpha)}{cos(\varphi)}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение12.10.2017, 00:41 
Аватара пользователя


22/06/12
736
Решение для $\mathbf F = \gamma v^{n-1} \mathbf v$, $n > 0$.

(Решение)

Пусть иксовая проекция скорости есть функция от угла $\theta$, который составляет вектор $\mathbf v$ с ортом $\mathbf e_x$: $v_x = f(\theta)$. Тогда $v_y = f(\theta) \tg \theta$. Параметризация корректна, так как функция $\theta(t)$ монотонно убывает, значит, она есть биекция.

Из уравнения движения
$$
m \mathbf g - \gamma v^{n-1} \mathbf v = m \dot{\mathbf v}
$$
извлекаем два соотношения
$$\begin{cases}
\dot v_x = f'(\theta) \dot \theta = - \dfrac{\gamma}{m} v^{n-1} f(\theta), \\
\dot v_y = f'(\theta) \tg \theta \, \dot \theta + f(\theta) \dfrac{\dot \theta}{\cos^2 \theta} =-g -\dfrac{\gamma}{m} v^{n-1} f(\theta) \tg \theta.
\end{cases}
$$
Из последнего
$$
f'(\theta) \tg \theta \, \dot \theta + f(\theta) \dfrac{\dot \theta}{\cos^2 \theta} = -g + f'(\theta) \dot \theta \tg \theta,
$$
откуда
$$
-g = \dfrac{f(\theta) \dot \theta}{\cos^2 \theta}.
$$
Заметим, что $v^{n-1} = f^{n-1}(\theta) \left(\sqrt{1+\tg^2 \theta}\right)^{n-1} = \left(\dfrac{f(\theta)}{\cos \theta}\right)^{n-1}$. Подстановка в первое уравнение приводит к
$$
f'(\theta) \dot \theta = -g \cos^2 \theta \dfrac{f'(\theta)}{f(\theta)} = - \dfrac{\gamma}{m} \dfrac{f^{n-1}(\theta)}{\cos^{n-1} \theta} f(\theta),
$$
разделение переменных приводит к
$$
\dfrac{\mathrm df}{f^{n+1}} = \dfrac{\gamma}{mg} \dfrac{\mathrm d\theta}{\cos^{n+1} \theta},
$$
интегрирование слева и справа в пределах от $\alpha$ до $\theta$ даёт функцию (если $n \ne 0$)
$$
\dfrac{1}{f^n(\theta)} - \dfrac{1}{f^n(\alpha)} = \dfrac{\gamma}{mg} \int \limits_{\alpha}^\theta \dfrac{\mathrm d\vartheta}{\cos^{n+1} \vartheta}.
$$
Ответ на вопрос о скорости в верхней точке, таким образом, даётся выражением
$$
v = \dfrac{u \cos \alpha}{\sqrt[n]{1 - \dfrac{\gamma u^n \cos^n \alpha}{mg} \int \limits_0^\alpha \dfrac{\mathrm d\vartheta}{\cos^{n+1} \vartheta}}}.
$$


Ответить на вопрос о длине траектории до верхней точки можно следующим образом. Определим функцию $s = s(\theta(t))$ — длину пройденного пути к моменту $t$. Тогда $\dot s = s'(\theta) \dot \theta$ с одной стороны, а с другой стороны $\dot s = v = \dfrac{f(\theta)}{\cos \theta}$, откуда
$$
s'(\theta) \dot \theta \cos \theta = f(\theta).
$$
Величину $s(\theta)$ можно получить отсюда двумя способами: либо подставить $\dot \theta \cos \theta = - \dfrac{g \cos^3 \theta}{f(\theta)}$ (см. выше), получая интеграл
$$
s(\theta) - s(\alpha) = - \dfrac{1}{g} \int \limits_{\alpha}^{\theta} \dfrac{f^2(\vartheta) \ \mathrm d\vartheta}{\cos^3 \vartheta}.
$$
и как-то его вычисляя, либо подставляя
$$
\dot \theta \cos \theta = \dfrac{\gamma}{m} \dfrac{f^{n-1}(\theta)}{\cos^{n-2} \theta} \dfrac{f(\theta)}{f'(\theta)},
$$
откуда
$$
\mathrm ds = \dfrac{m}{\gamma} \dfrac{f'(\theta) \ \mathrm d\theta}{f(\theta)} \left(\dfrac{\cos \theta}{f(\theta)}\right)^{n-2}.
$$
Только в случае $n=2$ это выражение приводится к виду
$$
\mathrm ds = \dfrac{m}{\gamma} \mathrm d(\ln f)
$$
и интегрирование даёт
$$
s(\theta) - s(\alpha) = \dfrac{m}{\gamma} \ln \dfrac{f(\theta)}{f(\alpha)}.
$$
Учтя, что $s(\alpha) = 0$, окончательно имеем (см. ответ для скорости в верхней точке для $n=2$)
$$
s(0) = s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right].
$$


-- 12.10.2017, 00:47 --

В задаче именно про верхнюю точку подход с введением параметризации углом $\theta$ между скоростью и горизонталью выбирается из тех соображений, что таким образом мы отыскиваем значения при $\theta = 0$ при том, что для $\theta = \alpha$ поставлены начальные условия.

Для остальных точек траектории, видимо, считать что-то можно только численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение12.10.2017, 02:54 


31/08/17
90
закон движения относительно инерциальной СО выражается квадратурами

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group