Самоподобная, масштабируемая матрица

[flacs]

1. Дорогие товарищи, если у кого нибудь ссылки, на подобные материалы на эту тему
Самоподобных, масштабируемых матриц ?

2. Закономерности в таблицах (есть ли ОБЩИЕ закономерности, для любых таблиц)?

Заранее спасибо.

[svv]

Общеизвестный термин?

[flacs]

svv в сообщении #1254312 писал(а):

Общеизвестный термин?

Я "Диванный математик", возможно, я выразился не совсем общепринятыми терминами.
Лично мое мнение - что таблицу умножения нужно воспринимать как - "самоподобную масштабируемую матрицу".
Извиняюсь, за "отсебятину", но более точного термина не могу подобрать.

Меня интересует, существуют ли способы анализа таких матриц, закономерностей, кроме (линейной/квадратичной/кубической/полиномов высших степеней) ?
Какие свойства самодобия и масштабируемости, можно применить к упомянутым выше закономерностям?

Я провел исследование и понял, что для таблицы умножения "архилесовой пятой", которая может привести к подобного рода закономерностям (с минимальными погрешностями) должна являться линейная последовательность n = $9x+6$, которая в квадратичном виде должна быть в представлена в виде m = $3(3x+2)(3y+1)$

[svv]

Так Вы объясните, хотя бы своими словами, что значит «самоподобная» и «масштабируемая». Простите меня за тупость, но я, правда, совершенно не понимаю.

[flacs]

svv в сообщении #1254361 писал(а):

Так Вы объясните, хотя бы своими словами, что значит «самоподобная» и «масштабируемая». Простите меня за тупость, но я, правда, совершенно не понимаю.

Проще будет понять визуально, на примере.

Отметьте точки $ (9x+6) $ в таблице умножения. Причем, отмечайте их таким образом, чтобы ни одна их них, не пересекла, что ниже $ x^2 $

Теперь посмотрите на получившийся эскиз из точек. Запомните его.
Далее двигайтесь вниз по корню, пока не дойдете до 10*10, 100*100, 1000*1000 и т.д.

Вы увидите что начальный эскиз не изменится, он повторится, если вы прибавите один десятичный разряд (это свойство самоподобия), но эскиз будет расширяться, потому что количество десятичных разрядов будет больше (это свойство масштабируемости).

Вообще эскиз повторяется гораздо чаще, но это не суть.

[svv]

Ничего не понятно.

flacs в сообщении #1254365 писал(а):

Отметьте точки $ (9x+6) $ в таблице умножения.

Вариант первый. Для каждого столбца с номером $x$ находится строка с номером $9x+6$. Число на их пересечении помечается.
Вариант второй. В таблице Пифагора надо пометить все числа вида $9x+6$, где $x$ — натуральное число.

flacs в сообщении #1254365 писал(а):

отмечайте их таким образом, чтобы ни одна их них, не пересекла, что ниже $ x^2 $

Какое-то слово пропущено. И как точка может пересекать то, что ниже? И что значит «ниже»? В геометрическом смысле (таблица строится вниз)? В смысле «меньше»? И что здесь означает $x$?

Если Вам приходилось писать программы, опишите алгоритм так же ясно, как Вы бы объясняли компьютеру.

[flacs]

Приходилось, я программист с многолетним стажем.
Отвечаю, на вопросы.

flacs в сообщении #1254365 писал(а):

Отметьте точки $ (9x+6) $ в таблице умножения.

Вариант второй. В таблице Пифагора надо пометить все числа вида $9x+6$, где $x$ — натуральное число.

flacs в сообщении #1254365 писал(а):

отмечайте их таким образом, чтобы ни одна их них, не пересекла, что ниже $ x^2 $

Я попросил отметить точки на таблице Пифагора, но не все, а только те что геометрически выше и правее от квадратного корня (чтобы не задублировать уже отмеченные точки), т.к. таблица умножения отзеркаливается от диагональной прямой.

На всякий случай прикладываю иззображение, на ней оранжевым цветом показана область на которой отмечаются точки

[svv]

На картинке изображены первые 100 столбцов и первые 100 строк. Вместо чисел — закрашенные и незакрашенные клетки.
Пусть $x$ — номер столбца, $y$ — номер строки. На их пересечении в таблице Пифагора стоит число $z=xy$. Если выполняется условие $z\operatorname{mod} 9=6$, я закрашиваю на картинке клетку $(x, y)$ красным цветом. Программа:

Используется синтаксис C++

const int Nx=100, Ny=100;
for (int x=0; x<=Nx; ++x)
for (int y=0; y<=Ny; ++y)
{
   int z=x*y;
   if (z%9==6) FillRed(x, y);
}

Ваша просьба отмечать только числа правее-выше диагонали сводится к дополнительному условию $y<x$. Но я всё же не стал его учитывать, потому что и так красиво. Вместо этого я провёл диагональ $y=x$. К Вашему варианту отсюда легко перейти.

Хорошо. Я вижу, что узор периодический как по $x$, так и по $y$ с периодом $9$:
$\bullet$ если клетка $(x, y)$ закрашена, то закрашены также клетки $(x+9, y)$ и $(x, y+9)$;
$\bullet$ иначе они не закрашены.
Больше ничего не вижу.

[Dmitriy40]

Ну масштабируемость следует из периодичности. А вот где тут самоподобие неясно, это же не фрактал.
И лично мне остаётся непонятным какие могут быть закономерности у абсолютно любой таблицы ... Включая и таблицу из нулевых значений, и из полностью случайных.

[flacs]

Dmitriy40 в сообщении #1254394 писал(а):

И лично мне остаётся непонятным какие могут быть закономерности у абсолютно любой таблицы ... Включая и таблицу из нулевых значений, и из полностью случайных.

Про таблицы, это отдельный вопрос, я его задал на всякий случай. Интутивно понятно, что разобравшись с самым сложным ее аналогом - таблицей Пифагора, можно найти закономерности у любой из таблицы, которые подчинены какой то осмысленной логике.

Dmitriy40 в сообщении #1254394 писал(а):

Ну масштабируемость следует из периодичности. А вот где тут самоподобие неясно, это же не фрактал.

Какие свойства масштабируемых матриц, можно применить для закономерностей вида (линейной/квадратичной/кубической/полиномов высших степеней) ?
Кроме того как, это $x^2$ , $x(x+k)$, где $k$ - расстояние между множителями

[Someone]

flacs в сообщении #1254427 писал(а):

разобравшись с самым сложным ее аналогом - таблицей Пифагора

Это юмор такой?

flacs в сообщении #1254427 писал(а):

таблицы, которые подчинены какой то осмысленной логике

Что это значит? Что в таблице есть закономерность? Тогда да, если в таблице есть закономерность, то в таблице есть закономерность.

[Soul Friend]

таблица умножения $x\cdot (x+n)$ не будет зеркальной

[grizzly]

Приведу для разнообразия в этой теме пример ссылки на статью (MS Word), в которой рассматривается какая-то самоподобная бесконечная матрица (что бы оно не значило). Статья на первый взгляд сколько-то любопытная (несмотря на не особо авторитетный источник, как минимум один из авторов вполне себе настоящий математик).

Впрочем, ничего другого на родном языке гугл про это не знает. Да и на английском в авторитетных местах только сильно ругаются, что это понятие (самоподобной матрицы) не является каким-то общепринятым или самоочевидным.

[flacs]

Цитата:

Что это значит? Что в таблице есть закономерность? Тогда да, если в таблице есть закономерность, то в таблице есть закономерность.

Любая система, которую можно описать математически, будь она линейная/квадратичная/кубическая и т.д. имеет на входе $x$, на выходе $y$. С таблицами чуть сложнее на входе $x,y$ на выходе $z$. Возьмем теперь любую систему (таблицу сложения, таблицу Пифагора), они также закономерны, ОБЕ имеют схожие алгоритмы самоорганизации. НО система таблицы Пифагора, гораздо СЛОЖНЕЕ, т.к. любое взятое число ($Z$), имеет только определенные значения ($x,y$), которые время от времени имеют единственное соответствие (полупростые числа), в таблице сложения все НАОБОРОТ - любое значение Z, соответствует целой диагонали значений из этой таблицы (что приводит к тому что каждое число ($Z$) мы можем описать математически), несмотря на то эта ТАБЛИЦА.

Мы делаем вывод о том, что таблица умножения, также имеет подобные диагонали, к сожалению они гораздо СЛОЖНЕЕ, чтобы подчинится в привычном нам понимании закономерностям, но это НЕ ОТМЕНЯЕТ того факта, что такая закономерность СУЩЕСТВУЕТ. В данной теме я поднимаю вопрос, о матрице вида $m = 3(3x+2)(3y+1)$, которая является "выжимкой всякой шелухи" из таблицы умножения, которая мешает нашим исследованиям, потому что остальные значения повторяются. Применяя СВОЙСТВА полученной матрицы, а именно самоподобия и масштабирования, я бы хотел получить закономерности, которые по асимптотически были близки к линейным/квадратичным/кубическим и т.д. уравнениям.

-- 10.10.2017, 14:08 --

grizzly в сообщении #1254464 писал(а):

Приведу для разнообразия в этой теме пример ссылки на статью (MS Word), в которой рассматривается какая-то самоподобная бесконечная матрица (что бы оно не значило). Статья на первый взгляд сколько-то любопытная (несмотря на не особо авторитетный источник, как минимум один из авторов вполне себе настоящий математик).

Впрочем, ничего другого на родном языке гугл про это не знает. Да и на английском в авторитетных местах только сильно ругаются, что это понятие (самоподобной матрицы) не является каким-то общепринятым или самоочевидным.

Огромное спасибо!, ничего подобного сам не смог найти.

[provincialka]

flacs в сообщении #1254468 писал(а):

Любая система, которую можно описать математически, будь она линейная/квадратичная/кубическая и т.д. имеет на входе $x$, на выходе $y$.

Вы имеете в виду, что $y$ есть функция от $x$? А почему именно степенная? синус, или там гамма-функция чем вам не приглянулись?

flacs в сообщении #1254468 писал(а):

С таблицами чуть сложнее на входе $x,y$ на выходе $z$.

Это значит, что $z$ есть функция от двух переменных $z=f(x,y)$. Так как вы говорите о "таблицах", то $x,y$ пробегают у вас натуральные значения. Хм... вообще-то "таблица" обычно конечна... ну, можно и бесконечные рассмотреть.

flacs в сообщении #1254468 писал(а):

имеют схожие алгоритмы самоорганизации.

Что сие значит? Что такое "система самоорганизации"? Явный вид фукнции $f$? Некие рекуррентные соотношения?
То, что вы приводили до сих пор -- это работа с остатками, поведение которых изучено вполне хорошо.

-- 10.10.2017, 13:15 --

Вы вообще-то сравнения по модулю хорошо знаете?