Чему равна сумма всех целых чисел?

[granit201z]

с одной стороны:

$\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}$ $\mathbb{Z}$ $=$ $0+(1+(-1))+(2+(-2))+(3+(-3))+... = 0+0+0+0+... = 0$

с другой стороны:

$\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}$ $\mathbb{Z}$ $=$ $(0+1)+((-1)+2)+((-2)+3)+((-3)+4)+... = 1+1+1+1+... = +\infty$

с третьей стороны можно получить еще и $-\infty$

следовательно:

$0 = +\infty$ = -$\infty$ ?

В чем здесь ошибка?

[Heart-Shaped Glasses]

Что такое сумма бесконечного числа слагаемых? Какими свойствами она (если вы её определили) обладает? В частности, приведёт ли изменения порядка слагаемых к изменению того, что вы назвали суммой?

[granit201z]

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1253507 писал(а):

Что такое сумма бесконечного числа слагаемых?

Насколько я понимаю, это ряд

-- 05.10.2017, 21:15 --

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1253507 писал(а):

В частности, приведёт ли изменения порядка слагаемых к изменению того, что вы назвали суммой?

Т.к. сложение на множестве целых чисел коммутативно и ассоциативно, то не должно.

[ewert]

granit201z в сообщении #1253508 писал(а):

Насколько я понимаю, это ряд

Это не ряд, это его сумма. Которую нужно формально определять. А Вы этого не сделали.

granit201z в сообщении #1253508 писал(а):

Т.к. сложение на множестве целых чисел коммутативно и ассоциативно, то не должно.

И поскольку Вы этого не сделали -- это Ваше утверждение бессмысленно. Поскольку на множестве целых чисел бесконечные суммы пока что не определены. Чего уж там говорить про всякие коммутативности. Они появляются (если появляются) только после того, как определены сами операции.

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1253508 писал(а):

Т.к. сложение на множестве целых чисел коммутативно и ассоциативно, то не должно.

Это позволяет переставлять скобки и операнды только в конечных выражениях (ибо бесконечные, как уже писали, сами собой не определяются) конечное число раз.

[slu4ayniyProcess]

Если рассматривать сумму целых чисел как сумму ряда:
$0+1-1+2-2+3-3+...$.
И если опираться на стандартное определение суммы ряда, как предела последовательности частичных сумм ряда. То т.к. это определение дано только для сходящихся рядов, а наш ряд расходится (последовательность частичных сумм расходится), то и понятия суммы для него не определено.

Обоснованно менять местами члены ряда, можно если ряд абсолютно сходится. Наш ряд не сходится абсолютно, поэтому менять местами члены ряда, и утверждать, что сумма нашего начального ряда будет равна сумме какого-нибудь нового ряда, полученного перестановкой членов мы не имеем "законного" права.

[ewert]

slu4ayniyProcess в сообщении #1253559 писал(а):

Если рассматривать сумму целых чисел как сумму ряда:
$0+1-1+2-2+3-3+...$.
И если опираться на стандартное определение суммы ряда, как предела последовательности частичных сумм ряда.

Пока что на это определение опираться невозможно. Поскольку пока что здесь нет ни одной частичной суммы.

[slu4ayniyProcess]

ewert в сообщении #1253560 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1253559 писал(а):

Если рассматривать сумму целых чисел как сумму ряда:
$0+1-1+2-2+3-3+...$.
И если опираться на стандартное определение суммы ряда, как предела последовательности частичных сумм ряда.

Пока что на это определение опираться невозможно. Поскольку пока что здесь нет ни одной частичной суммы.

а как же 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0 ... ?

[iifat]

ewert в сообщении #1253560 писал(а):

пока что здесь нет ни одной частичной суммы

Как-то тоже не понял этого замечания. Выписан вполне себе ряд; написание (всех ) частичных сумм вполне можно оставить читателю в качестве самостоятельного упражнения.

[atlakatl]

Зачем ТС хронически задаёт якобы "закавыристые вопросы", ответ на которые может получить третьеклассник с Google?
Набираем "свойства сходящихся рядов", тут же получаем теорему:

Цитата:

Теорема 1 (необходимые условия сходимости ряда). Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю.

Да, "ехидный" пример $0+(1-1)+(2-2)+(3-3)+...=0$ представляет собой обычный сходящийся ряд $0+0+0+0+...=0$, а не сумму всех целых чисел.

[arseniiv]

iifat в сообщении #1253579 писал(а):

Как-то тоже не понял этого замечания. Выписан вполне себе ряд; написание (всех ) частичных сумм вполне можно оставить читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Возможно, имелось в виду, что ТС об этом всём, скорее всего, отчёта себе не отдаёт. Ну воспримет какой-то ответ как магическую формулу, ну пойдёт дальше спрашивать про сумму всех вещественных чисел, например.

atlakatl в сообщении #1253582 писал(а):

ответ на которые может получить третьеклассник с Google

Ну, эт вы переборщили малость. Не любой третьеклассник, с гуглом или без, сможет «полученным» ответом воспользоваться в произвольной ситуации. У него в большинстве случаев просто не будет базы.

[granit201z]

atlakatl в сообщении #1253582 писал(а):

Да, "ехидный" пример $0+(1-1)+(2-2)+(3-3)+...=0$ представляет собой обычный сходящийся ряд $0+0+0+0+...=0$, а не сумму всех целых чисел.

да ладно. $(0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ...)$ и есть множество цклых чисел, а соответственно, при попытке их сложить в том порядке, в каком они в скобках и идут - получится $0+1-1+2-2+3-3+...=0$. Можно там потом что угодно усматривать - ряд там это или не ряд. Но это в первую очередь сумма всех целых чисел. К тому же то что в скобках, насколько я понимаю, не является сходящейся последовательностью.

[atlakatl]

granit201z в сообщении #1253593 писал(а):

то что в скобках, насколько я понимаю, не является сходящейся последовательностью

В скобках разности двух чисел. Да это не последовательность.
Ряд $0+0+0+0+...$ сходится?

[granit201z]

atlakatl в сообщении #1253598 писал(а):

В скобках разности двух чисел. Да это не последовательность.
Ряд $0+0+0+0+...$ сходится?

Извиняюсь, что явно не указал какие скобки имел ввиду. А имел ввиду в выражении:

granit201z в сообщении #1253593 писал(а):

К тому же то что в скобках, насколько я понимаю, не является сходящейся последовательностью.

вот эти скобки:

atlakatl в сообщении #1253598 писал(а):

$(0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ...)$

а потом "в размышлении" сложил все эти члены последовательности:

$0+1-1+2-2+3-3+...=0$.

А потом для "простоты восприятия" понарасставил уже вот эти скобки:

$0+(1-1)+(2-2)+(3-3)+...=0$

[ewert]

iifat в сообщении #1253579 писал(а):

написание (всех ) частичных сумм вполне можно оставить читателю в качестве самостоятельного упражнения.

А если читатель ещё не умер?... Тогда оставшейся жизни ему на это точно не хватит.