Чему равна сумма всех целых чисел?

[Mikhail_K]

granit201z, понимаете, любая операция в математике должна быть строго определена.

Даже для обычного сложения двух чисел есть соответствующее строгое определение, что это такое. Но обычно можно довольствоваться имеющимся у каждого "наивным" знанием о сумме и её свойствах, без строгих определений.

Но это что касается суммы двух чисел. Что такое сумма бесконечного количества чисел - надо определять отдельно, это не вытекает автоматически из определения суммы двух чисел. Например, можно бесконечную сумму определить как предел частичных сумм; при этом надо понимать, что это всё равно другая операция, это не то же самое, что конечные суммы; просто эти две операции в чём-то схожи и называются одинаково. Например, для конечных сумм не нужны никакие пределы, а бесконечные суммы определяются через предел. Например, из коммутативности обычного сложения не следует, что слагаемые в бесконечных суммах можно переставлять как угодно. Например, из корректности привычных операций с конечными суммами (там группировки слагаемых в скобки и пр.) не следует автоматически, что то же самое можно делать с бесконечными суммами.

Можно определить бесконечные суммы и другим способом, и тогда на некоторые вопросы о конкретных значениях тех или иных бесконечных сумм получатся другие ответы. Нельзя просто взять и спросить: чему равна такая-то бесконечная сумма? Ответ зависит от того, как именно мы определяем, что такое бесконечная сумма.

[granit201z]

arseniiv в сообщении #1253589 писал(а):

ну пойдёт дальше спрашивать про сумму всех вещественных чисел

с суммы всех вещественных чисел я и начал думать. Мне стало интересно чему равна суперпозиция всех одномерных векторов, которыми можно описать положение "некоторого тела" на прямой линии. Ну вот собственно эта суперпозиция и должна бы по идее быть равной сумме всех вещественных чисел. Потом, желая упростить себе задачу я спустился до только целых.

[Mikhail_K]

granit201z, плюс к своему предыдущему сообщению скажу ещё вот что. Математика нас учит, что не любая конструкция имеет смысл. Нельзя просто так взять и сказать, чему равен квадратный корень из минус единицы. Если у нас определены только вещественные числа, то такого корня просто нет. Конечно, мы можем определить комплексные числа, среди которых есть $i$, и сказать, что вот $\pm i$ и являются корнями из минус единицы. Но мы можем так сделать только после того, как строго определили, что такое комплексное число, и в каком именно смысле корень из вещественного числа может быть равен числу комплексному. Пока мы этого не сделали, ответ $\sqrt{-1}=\pm i$ будет просто неверным.

Как сам ответ на какой-либо вопрос, так и возможность такого ответа - сильно зависят от принятых определений. Вы вот, наверное, думаете, что равенство $1+1=0$ неверно. Но неверно оно только при обычном определении суммы, а если это сумма в $\mathbb{Z}_2$, то оно как раз верно. Так и с бесконечными суммами - нет смысла что-то спрашивать, пока нет определений.

Определения суммы счётной последовательности чисел существуют, причём есть несколько разных (самый распространённый - это через пределы частичных сумм). И вообще-то, задавая вопрос о такой сумме, надо указывать, какое именно определение имеется в виду. Что такое сумма несчётного множества чисел - до сих пор никто не определил (разве что, есть отдалённая аналогия с интегрированием), так что вопрос о такой сумме лишён смысла.

[Dmitriy40]

granit201z в сообщении #1253616 писал(а):

А потом для "простоты восприятия" понарасставил уже вот эти скобки:
$0+(1-1)+(2-2)+(3-3)+...=0$

А давайте по другому скобки расставим, ведь сумма от этого не изменится? Ведь не изменится же, по Вашему?
$(0+1)+(-1+2)+(-2+3)+(-3+4)+...=1+1+1+1+...=+\infty$.
Упс, изменилась ...
В чём же дело? Да в том что для такого ряда (бесконечного) многие "очевидные" правила не выполняются! Вам об этом уже сколько говорят. Определяйте (конкретно и детально) что такое сложение, что такое расстановка скобок (а лучше узнайте общепринятые определения) - и уже потом считайте чему будет равна ваша сумма.

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1253660 писал(а):

Мне стало интересно чему равна суперпозиция всех одномерных векторов, которыми можно описать положение "некоторого тела" на прямой линии.

Ну вот вы даже не в курсе, что «суперпозиция состояний …» — это не какое-то единственое значение, а просто утверждение, что одно состояние представимо линейной комбинацией других с какими-то коэффициентами. В зависимости от того, какие коэффициенты, результаты бывают разные.

-- Пт окт 06, 2017 20:13:01 --

(Кроме того, в подобных случаях берут интеграл, а не сумму и не ряд.)

[Dmitriy40]

(Смешно)

arseniiv в сообщении #1253749 писал(а):

(Кроме того, в подобных случаях берут интеграл, а не сумму и не ряд.)

... который в любом случае так или иначе сводится к некоторому пределу, как и сумма и ряд.

[granit201z]

В итоге можно смело заявить, что любое целое число может быть разложено в счетное множество пар целых чисел или в несчетное множество пар действительных чисел

[arseniiv]

Не множество, а последовательность, и пары вообще ни к чему, если вы из них делаете просто разности.

-- Ср окт 11, 2017 18:47:32 --

Потом, такие вещи смело заявлять — это, ну, как смело заявлять, что можно слепить из пластилина диван. Да, можно, но кому он такой вообще понадобится?

[Dmitriy40]

granit201z в сообщении #1254786 писал(а):

любое целое число может быть разложено в счетное множество пар целых чисел или в несчетное множество пар действительных чисел

И что в этом утверждении странного? Оно же тривиально! $\forall z \in \mathbb{Z}\; \exists a,b \in \mathbb{Z}, a \ne b: z=a+b$, причём всегда выполняется условие $a=z-b$. И таких пар счётное количество. А для действительных $a,b$ таких пар несчётно. В общем Вы сказали лишь что к примеру число $2$ можно представить и как $2+0$ и как $5+(-3)$ и как ... - и таких пар счётное количество (т.к. счётно само множество целых). Банально.

[granit201z]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1254837 писал(а):

И что в этом утверждении странного? Оно же тривиально! $\forall z \in \mathbb{Z}\; \exists a,b \in \mathbb{Z}, a \ne b: z=a+b$, причём всегда выполняется условие $a=z-b$. И таких пар счётное количество. А для действительных $a,b$ таких пар несчётно. В общем Вы сказали лишь что к примеру число $2$ можно представить и как $2+0$ и как $5+(-3)$ и как ... - и таких пар счётное количество (т.к. счётно само множество целых). Банально.

С банальностью этого я не спорю. Я просто размышляю. Общение здесь идет мне на пользу. Наконец то я стал несколько понимать смысл фраз $\forall z \in \mathbb{Z}\; \exists a,b \in \mathbb{Z}, a \ne b: z=a+b$ , хотя еще пару месяцев назад для меня это были по большей части непонятные иероглифы

[arseniiv]

А я чего-то решил, что granit201z имеет в виду разложение $x = \sum_{i=0}^\infty (a_i - b_i)$.

[Dmitriy40]

granit201z в сообщении #1254851 писал(а):

Я просто размышляю.

А, ну простите, мне в Вашем сообщении показалось какое-то откровение, которое на поверку оказалось банальностью даже для школьника средних классов.

(Хитрые значки)

Ну а значки я использовал чисто для сокращения записи, словами долго всё расписывать, я ещё в школе, как только узнал про эти значки, так сразу все лекции стал ими записывать, очень впечатлило когда вместо десятка строк слов лектора на пару минут получается одна строка формул. Особенно когда речь про пределы и всякие теоремы существования/ограниченности/etc.