2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите опознать
Сообщение28.09.2017, 21:47 


28/09/17
4
Дано риманово многообразие и два касательных векторных поля $X$ и $Y$ на нём. Проведём через некоторую точку $P$ на многообразии две гладкие кривые так, чтобы поле $X$ касалось первой кривой, а $Y$ - второй. Параметризуем кривые одним параметром $s$ так, чтобы $s=0$ соответствовало точке $P$. Мне нужно опознать следующее выражение:
$$
\partial_s \varphi = X \partial_s Y - Y \partial_s X  \;.
$$
Справа стоят скалярные произведения векторов. Эта штука похожа на производную Ли, но не совсем. Пробовал определить одно из векторных полей как канонический импульс для некоторого гамильтониана - не помогло. Есть идеи? Цель: найти $\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение28.09.2017, 23:55 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
Кое-что непонятно.
$\varphi$ — скалярная функция?
Что такое $\partial_s$ ? Если есть только одна кривая $x=\gamma(s)$, то, наверное, $\partial_s\varphi$ — это $\frac{d\varphi(\gamma(s))}{ds}$. Но кривых две. Как тогда зависит точка, в которой берётся значение функции, от параметра $s$?
Как вычисляется производная от векторного поля? Используется параллельный перенос вдоль кривой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение29.09.2017, 00:10 


28/09/17
4
svv в сообщении #1251660 писал(а):
Кое-что непонятно.
$\varphi$ — скалярная функция?
Что такое $\partial_s$ ? Если бы была только одна кривая $x=\gamma(s)$, я бы понял $\partial_s\varphi$ как $\frac{d\varphi(\gamma(s))}{ds}$. Но кривых две. Как тогда зависит точка, в которой берётся значение функции, от параметра $s$?
Как вычисляется производная от векторного поля? Используется параллельный перенос вдоль кривой?


Да, $\varphi$ - скаляр. Кривые параметризованы одним параметром, т.е. при шевелении $s$ шевелятся точки на обеих кривых. Пусть это будут натуральные параметризации, если так удобнее. В производных подразумевается параллельный перенос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение29.09.2017, 00:14 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
Хорошо, а по какой кривой при изменении $s$ «едет» точка, в которой берётся значение $\varphi$?

-- Пт сен 29, 2017 00:16:59 --

Я, кажется, понял. Ваше $\varphi$ не есть скалярное поле, то есть это не функция точки на многообразии, а только функция параметра $s$, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение29.09.2017, 00:23 


28/09/17
4
svv в сообщении #1251670 писал(а):
Хорошо, а по какой кривой при изменении $s$ «едет» точка, в которой берётся значение $\varphi$?

-- Пт сен 29, 2017 00:16:59 --

Я, кажется, понял. Ваше $\varphi$ не есть скалярное поле, то есть это не функция точки на многообразии, а только функция параметра $s$, верно?


Коллеги, я облажался. Требуется уточнение: поля $X$ и $Y$ не касаются своих кривых, а торчат как попало. Это всё усложняет.

Что такое $\varphi$ - нужно понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение29.09.2017, 00:30 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
evgenykurbatov в сообщении #1251672 писал(а):
поля $X$ и $Y$ не касаются своих кривых, а торчат как попало
Я по инерции доскажу то, что хотел, про случай, когда поля всё-таки касательны к кривым.

Чтобы $\varphi$ не зависело от выбора параметризации, можно считать, как Вы сказали, параметр $s$ натуральным. А можно (тоже очень естественный вариант) на каждой кривой привязать параметризацию $s$ к векторному полю: потребовать, чтобы на кривой для любой функции $f$ выполнялось $\frac{df}{ds}=Xf$. Это можно записать короче: на кривой $\frac d{ds}=X$.

-- Пт сен 29, 2017 01:18:22 --

Запишу в более привычных обозначениях ($X,Y$ не обязательно касательные к кривым).
На одной кривой параметр $s$, на другой $t$.
Пусть $U(s), V(t)$ — касательные векторы к кривым: $\frac d{ds}=U$, $\frac d{dt}=V$. Если параметризация натуральная, векторы $U(s)$ и $V(t)$ при любом значении параметра единичные.
Правая часть Вашего выражения равна $\langle X,\nabla_V Y\rangle -\langle Y,\nabla_U X\rangle$.
В индексной записи это
$g_{ik}X^i V^\ell\left(\dfrac{\partial Y^k}{\partial x^\ell}+\Gamma^k_{\ell m}Y^m\right)-g_{ik}Y^i U^\ell\left(\dfrac{\partial X^k}{\partial x^\ell}+\Gamma^k_{\ell m}X^m\right)\, ,$
причём $U^\ell \frac{\partial}{\partial x^\ell}=\frac d{ds}, \;\;V^\ell \frac{\partial}{\partial x^\ell}=\frac d{dt}$.
Так как $U,V$ никак не связаны с $X,Y$, ничего хорошего здесь ожидать не приходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение29.09.2017, 10:58 


28/09/17
4
svv в сообщении #1251677 писал(а):


Разве не правильнее писать $d/ds = V \nabla$?
Давайте возьмём простой случай. Пусть кривые совпадают, тогда справа имеем
$$\langle X, (V \nabla) Y\rangle -\langle Y, (V \nabla) X\rangle
= \langle X, L_V Y \rangle - \langle Y, L_V X \rangle - (X \otimes Y - Y \otimes X) (\nabla \otimes V)  \;.$$
Здесь $L_V Y$ - производная Ли; $\otimes$ - внешнее произведение векторов. Тоже ничего хорошего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите опознать
Сообщение29.09.2017, 11:42 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
В записи $\frac{d}{ds}=V$ касательный вектор $V$ понимается как оператор дифференцирования, как и в записи $\frac{df}{ds}=Vf$.
Чтобы подчеркнуть «операторность», пишут также $D_V$. А вот значок $\nabla$ зарезервирован за ковариантной производной, предполагающей, что задана связность (хотя при дифференцировании скалярных функций она и не используется).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group