Соображают на троих

[Charlz_Klug]

Задача:
Трое друзей $A, B, C$ хотят разделить между собой $1$ литр некоторого напитка. Проблема в том, что они умеют делить только пополам. Поэтому поступают следующим образом. Сначала весь напиток находится в кружке у $A$, а кружки у $B$ и $C$ пустые. Затем половина содержимого кружки $A$ поровну добавляется в кружки $B$ и $C$. После этого половина содержимого кружки $B$ поровну добавляется в кружки $A$ и $C$. На следующем шаге половина содержимого кружки $C$ поровну добавляется в кружки $A$ и $B$. И так далее, много раз: половина содержимого очередной кружки (по циклу: $A, B, C, A, B, C, ...$) поровну добавляется в остальные кружки. Каким будет количество напитка в каждой кружке в установившемся режиме?

Не пойму как подступиться. Рекурсия сбивает с толку. Написал программу для подсчёта. По ней получилось что $A = 0.22222221$, у $B = 0.44444442$ и $C = 0.3333333$. Не знаю как вычислить аналитически.

[realeugene]

Подумайте, что именно означает фраза "в установившемся режиме"? Очевидно, что если вы разливаете за одну операцию половину содержимого одной кружки по двум другим кружкам, то количество жидкости во всех кружках после выполнения этой операции изменяется.

[Charlz_Klug]

realeugene в сообщении #1251546 писал(а):

Подумайте, что именно означает фраза "в установившемся режиме"?

Скорее всего "установившийся режим" обозначает некоторое количество напитка к которому стремится содержимое каждой кружки при бесконечном повторении цикла.

[realeugene]

Charlz_Klug в сообщении #1251554 писал(а):

Скорее всего "установившийся режим" обозначает некоторое количество напитка к которому стремится содержимое каждой кружки при бесконечном повторении цикла.

Но содержимое каждой кружки неизбежно сильно изменяется на каждом шаге. Уточните.

[Mikhail_K]

Charlz_Klug, пусть прошло достаточно много времени и можно считать, что режим "установился". Обозначьте через $x,y,z$ количества напитка у трёх друзей и подумайте, что произойдёт, если провести ещё один цикл.

[wrest]

Интересно, что в установившемся режиме разливают всегда из самой полной кружки.

[realeugene]

Очевидно, что иначе и быть не может, так как количество жидкости уменьшается только в кружке, из которой разливают, а в остальных двух возрастает.

[arseniiv]

Charlz_Klug в сообщении #1251542 писал(а):

По ней получилось что $A = 0.22222221$, у $B = 0.44444442$ и $C = 0.3333333$.

Не складывается в единицу — т. е. численно у вас там проблемы, кроме потенциального прочего.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1251574 писал(а):

Не складывается в единицу — т. е. численно у вас там проблемы, кроме потенциального прочего.

$4/9+3/9+2/9=1$

[arseniiv]

(Ну, точнее, понятно, что складываться точно и не будет, но тут какая-то подозрительная асимметрия между точностью значений для $A$ и $B$ и с другой стороны $C$.)

[realeugene]

Округление вниз, после тройки случайно оказался нуль. Неравномерность затухает пропорционально $2^{-n/2}$.

[Charlz_Klug]

arseniiv в сообщении #1251574 писал(а):

Не складывается в единицу — т. е. численно у вас там проблемы, кроме потенциального прочего.

Нет, с программой всё в порядке проверочная система принимает ответ. Хочу понять как решать аналитически.

[arseniiv]

Про это уже писали:

Mikhail_K в сообщении #1251556 писал(а):

Charlz_Klug, пусть прошло достаточно много времени и можно считать, что режим "установился". Обозначьте через $x,y,z$ количества напитка у трёх друзей и подумайте, что произойдёт, если провести ещё один цикл.

[realeugene]

Кстати, рассмотрение этой задачи можно упростить, если слегка её переформулировать. Выстроим стаканы в очередь. Будем брать первый стакан из очереди, разливать половину его содержимого в два других стакана поровну, после чего ставить этот стакан в конец очереди.

[Skeptic]

Charlz_Klug в сообщении #1251542 писал(а):

Трое друзей $A, B, C$ хотят разделить между собой $1$ литр некоторого напитка. Проблема в том, что они умеют делить только пополам. ...
После этого половина содержимого кружки поровну добавляется в кружки $A$ и $C$. ...

Для того, чтобы из кружки $B$ за один раз перелить половину половины надо перелить 1/4, т.е. уметь делить на 4.