Соображают на троих

[Charlz_Klug]

Mikhail_K в сообщении #1251556 писал(а):

Обозначьте через $x,y,z$ количества напитка у трёх друзей и подумайте, что произойдёт, если провести ещё один цикл.

У $A$ — $\frac {41x} {64} + \frac {5y} {16} + \frac {z} {4}$, у $B$ — $\frac {13x} {64} + \frac {9y} {16} + \frac {z} {4}$, у $C$ — $\frac {5x} {32} + \frac {y} {8} + \frac {z} {2}$. Дальше не знаю.

-- 29.09.2017, 22:35 --

realeugene, извините, но тоже непонятно в чём упрощение.

[arseniiv]

Если распределение установившееся, то эти три величины (если найдены верно, не проверял) есть также $x, y, z$. Выходит линейная система.

[Charlz_Klug]

arseniiv, перепроверил, вроде нигде не ошибся, но в результате получаю $x = y = z = 0$.

[realeugene]

Charlz_Klug в сообщении #1251855 писал(а):

realeugene, извините, но тоже непонятно в чём упрощение.

В исходной формулировке цикл - это три переливания. В модифицированной формулировке цикл - это одно переливание и перестановка кружек. Уравнения получаются проще.

Какой у вас уровень? Вы школьник или студент? Если вы уже изучали линейную алгебру, подумайте, как эту задачу можно сформулировать в её терминологии?

[nds]

Предположим $A,B,C$ это объём в кружках. Каждый раз из кружки $A$ переливаем в остальные и ставим её в конце, т.е. после кружки $C$. Тогда для каждого цикла $n$:

$\underset{n}{ $A$}=\dfrac{1}{2} \underset{n-1}{ $B$}

$\underset{n}{ $B$}=$\underset{n-1}{ $C$}+\dfrac{1}{4}\underset{n-1}{ $B$}

$\underset{n}{ $C$}=$\underset{n-1}{ $A$}+\dfrac{1}{4}\underset{n-1}{ $B$}

Если начальный объём принять за $1$, то ещё есть уравнение:

$\underset{n}{ $A$}+\underset{n}{ $B$}+\underset{n}{ $C$}=1$

Дальше мне что то тяжело сообразить . Кажется, что они так и будут мучиться переливать - никакого устоявшегося режима не будет.

[Mikhail_K]

nds в сообщении #1251922 писал(а):

Кажется, что они так и будут мучиться переливать - никакого устоявшегося режима не будет.

Доказать, что устоявшийся режим здесь вообще устойчив и действительно реализуется в пределе - это отдельная задача. Я так понимаю условие, что там уже постулируется существование этого устоявшегося режима и доказывать это не нужно. (Если будет интерес, можно будет этим заняться потом.)

Поэтому пока что забудьте про пределы вообще. Ещё раз:

Mikhail_K в сообщении #1251556 писал(а):

Charlz_Klug, пусть прошло достаточно много времени и можно считать, что режим "установился". Обозначьте через $x,y,z$ количества напитка у трёх друзей (уже после того как режим установился) и подумайте, что произойдёт, если провести ещё один цикл.

Charlz_Klug в сообщении #1251855 писал(а):

У $A$ — $\frac {41x} {64} + \frac {5y} {16} + \frac {z} {4}$, у $B$ — $\frac {13x} {64} + \frac {9y} {16} + \frac {z} {4}$, у $C$ — $\frac {5x} {32} + \frac {y} {8} + \frac {z} {2}$. Дальше не знаю.

Что Вы можете сказать про эти количества, используя тот факт, что режим уже установился?

[Skeptic]

realeugene в сообщении #1251576 писал(а):

$4/9+3/9+2/9=1$

realeugene, как вы получили это выражение. Оно и есть аналитическое решение задачи.

[realeugene]

Skeptic в сообщении #1251996 писал(а):

realeugene, как вы получили это выражение. Оно и есть аналитическое решение задачи.

Как собственный вектор для единичного собственного значения. Поэтому я и спрашивал, каков уровень ТС? Школьники эту задачу могут решить и без знания термина "собственный вектор", как добивается от ТС Mikhail_K. Им нужно только немного догадаться, но всё должно быть интуитивно понятно и на школьном уровне. Студенты, прослушав курс линейной алгебры, обязаны такие задачи щёлкать как семечки.

-- 30.09.2017, 16:02 --

nds в сообщении #1251922 писал(а):

никакого устоявшегося режима не будет.

Будет-будет. Возмущения затухают экспоненциально.

[Charlz_Klug]

Получается система

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac {41x}{64} + \frac {5y} {16} + \frac {z}{4} &=& x\\ \frac {13x}{64} + \frac {9y}{16} + \frac {z}{4} &=& y\\ \frac {5x} {32} + \frac {y} {8} + \frac {z} {2} & = & z \\ x + y + z & = & 1 \\ \end{array} \right.$$

И действительно, отсюда выходит что $x = \frac {4} {9}$, $y = \frac {1} {3}$ и $z = \frac {2} {9}$.

-- 30.09.2017, 17:17 --

Mikhail_K, большое спасибо! Я бы не догадался.

-- 30.09.2017, 17:18 --

realeugene, я студент. Линейная алгебра была. Но собственные значения и собственные векторы я не понял абсолютно.

[realeugene]

Charlz_Klug в сообщении #1252012 писал(а):

Но собственные значения и собственные векторы я не понял абсолютно.

Наверстывайте. Они много где нужны.

[arseniiv]

Ну, в данном случае они ничего нового, кажется, не дают. Уравнение $(A - 1)\mathbf v = 0$ можно решить и составить, не зная о них.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1252026 писал(а):

Уравнение $(A - 1)\mathbf v = 0$ можно решить и составить, не зная о них.

Можно. Но если помнить про них, решение получается автоматически. И сходимость исследовать несложно. Всё-таки, не зная теории, сложно разложить $A=VEV^{-1}$, как мне кажется.

[Charlz_Klug]

realeugene, arseniiv, понятно, спасибо!