Точная верхняя грань

[student1138]

Подскажите, является ли точная верхняя грань множества $A$ точной нижней гранью множества верхних граней множества $A$?

Вот мои мысли на этот счет. Но не совсем я уверен в этом:

Пусть $B$ - множество верхних граней множества $A$, а $c \in B$ - точная верхняя грань $A$. Обозначим $C$ - множество всех элементов каждый из которых меньше чем любой элемент $A$ (т.е. множество нижних граней $A$). $A,B,C$ совместно составляют все множество $\mathbb{R}$, а значит $D = A \cup C$ - все нижние грани $B$. Действительно, любой элемент из мн-ва $D$ меньше либо равен любого элемента из $B$ и вместе они составляют $\mathbb{R}$. Так как $\forall b \in B: c \leqslant b$, $c$ - нижняя грань множества $B$. Но $c$ больше либо равен любого элемента из $A$, а значит и $C$, т.е. $\forall d \in D: c \geqslant d$ а значит $c$ является точной нижней гранью $B$

Отсюда следует странный вывод: точная верхняя грань $A$ всегда принадлежит $A$, что несколько напрягает.

[Mikhail_K]

Самостоятельные попытки решения?
Выпишите определения используемых Вами терминов.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Xaositect]

student1138 в сообщении #1250995 писал(а):

$A,B,C$ совместно составляют все множество $\mathbb{R}$

Неверно, возьмите, например, $A = \{0, 1\}$. Тогда $B = [1, +\infty)$, $C = (-\infty, 0]$, и $A\cup B\cup C = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) \neq \mathbb R$.

Вообще, это все не нужно. Вы написали

student1138 в сообщении #1250995 писал(а):

Так как $\forall b \in B: c \leqslant b$, $c$ - нижняя грань множества $B$

Что теперь нужно для того, чтобы это была наибольшая нижняя грань?

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1250995 писал(а):

Подскажите, является ли точная верхняя грань множества $A$ точной нижней гранью множества верхних граней множества $A$?

Скажите, а если у непустого подмножества вещественных чисел есть наименьший элемент, то он обязательно является точной нижней гранью этого множества?

[student1138]

Цитата:

Что теперь нужно для того, чтобы это была наибольшая нижняя грань?

Цитата:

Скажите, а если у непустого подмножества вещественных чисел есть наименьший элемент, то он обязательно является точной нижней гранью этого множества?

В обоих случаях нужно проверить что он больше либо равен всех других нижних граней множества $B$, но что-то не соображу как.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1251177 писал(а):

В обоих случаях нужно проверить что он больше либо равен всех других нижних граней множества $B$, но что-то не соображу как.

Совсем беда приключилась! Или это толстый троллинг?

[Mikhail_K]

student1138 в сообщении #1251177 писал(а):

нужно проверить что он больше либо равен всех других нижних граней

Или наоборот, что "все другие нижние грани" меньше либо равны этого элемента. Правда?

И как это можно проверить?

Если сразу не видно, ну, ещё раз вспомните, что это за элемент и что такое нижняя грань.

[Toucan]

По просьбе Mikhail_K малосодержательный спор отделен в Пургаторий в тему «Малосодержательный спор из темы "Точная верхняя грань"».

[student1138]

Итак, пусть $c$ - наименьший элемент подмножества $A$ действительных чисел. Любое число $x$ больше либо равное $c$ не будет являться нижней гранью подмножества т.к. $c\in A, c \leqslant x$. Другими словами, нижних граней, больше либо равных $c$, не существует. Значит $c$ - наибольшая из всех нижних граней.

[Sender]

student1138 в сообщении #1251567 писал(а):

Итак, пусть $c$ - наименьший элемент подмножества $A$ действительных чисел. Любое число $x$ больше либо равное $c$ не будет являться нижней гранью подмножества

Э, минуточку. По-вашему, число $x$, равное $c$, не будет являться нижней гранью подмножества? Как же тогда это согласуется с

student1138 в сообщении #1251567 писал(а):

Значит $c$ - наибольшая из всех нижних граней.

?

[Mikhail_K]

student1138, в целом верно. Но есть одна опечатка, на которую Вам указывает Sender. Найдите.

И ответьте явно на вопрос: является ли наименьший элемент множества его нижней гранью? (Прежде чем думать, является ли он точной нижней гранью).

[student1138]

Исправляю:
Любое число $x$ больше $c$ не будет являться нижней гранью подмножества т.к. $c\in A, c < x$. Таким образом другие верхние грани, если они существуют, равны либо меньше $c$. Т.е. $c$ - точная нижняя грань.

Цитата:

является ли наименьший элемент множества его нижней гранью?

Да вроде бы очевидно является или тут опять какой-то подвох?

[Mikhail_K]

student1138 в сообщении #1251693 писал(а):

Да вроде бы очевидно является или тут опять какой-то подвох?

Да, является. Да, очевидно. Просто из Вашего предыдущего сообщения можно было подумать, что это не так.

student1138 в сообщении #1251693 писал(а):

Таким образом другие верхние грани, если они существуют

Другие нижние грани.

Теперь Вы можете ответить на свой исходный вопрос

student1138 в сообщении #1250995 писал(а):

Подскажите, является ли точная верхняя грань множества $A$ точной нижней гранью множества верхних граней множества $A$?

?
Понятно ли, при чём тут был вспомогательный вопрос про наименьший элемент и точную нижнюю грань?