Циркуляция вектора, Зильберман. Электричество и магнетизм.

[tohaf]

Стр. 33.
Правильно ли я всё понял (блин, ощущение, будто "по-своему" тупо переписываю эту страницу, но уж как есть, если кто сможет проверить - спасибо в карму):

1.Поле (оно же "векторное поле", оно же "поле векторов") - это набор таких точек в пространстве, в каждой из которых можно построить конкретный вектор какой-либо величины (скорости, напряженности электрического поля, индукции магнитного поля, силы тяжести и т.п.). Например - электрическое поле, поле скоростей потока жидкости, гравитационное поле.
При этом, существуют величины, векторы которых не могут образовывать поля (то есть наборы конкретных векторов). Например - вектор силы Лоренца, потому что эта сила не обладает конкретным значением, зависящим только от координат. В частности, эта сила зависит и от координат, и от скорости электрона.

То есть: любая сила - это вектор, но не любая сила обладает векторным полем (или "образует векторное поле", или "образует поле векторов").

2. И вот дальше совсем непонятно. Рассматривается поле, силовые линии которого имеют вид окружности... Почему не рассматривается поле, линии которого имеют вид прямых (например, линии точечного электрического заряда)? Для простоты? Или если взять такое поле и замкнутый путь, то в этом поле не будет циркуляции вектора?

Или, короче,так. Циркуляция вектора векторного поля - это:
1. Произведение именно замкнутого пути (то есть, отрезков между набором точек) умноженного на модуль вектора (в каждой точке) ? Да/нет.
2. И не обязательно, чтобы силовые линии поля имели замкнутый вид? Да/Нет.

[Metford]

tohaf в сообщении #1249364 писал(а):

Поле (оно же "векторное поле", оно же "поле векторов") - это набор таких точек в пространстве

Нет, поле - это не набор точек. Вы сами подумайте: Вы хотите задать некоторую величину в каждой точке области пространства - на величине акцент. Т.е. в области пространства задано поле некоторой величины, если каждой точке области поставлена в соответствие значение этой величины. Векторная величина - будет векторное поле, скалярная величина - скалярное поле и т.д.

tohaf в сообщении #1249364 писал(а):

Если взять такое поле и любой путь, то в этом поле будет циркуляции вектора?

Выделенная часть цитаты непонятна вообще. Что Вы хотели сказать? У меня есть смутные подозрения, но будет лучше, если Вы оформите мысль сами.

tohaf в сообщении #1249364 писал(а):

циркуляция вектора векторного поля - это произведение именно замкнутого пути (то есть, отрезков между набором точек) умноженного на модуль вектора (в каждой точке)?

Фраза ужасна, уж простите. Вы не хотите её содержание выразить одной короткой математической записью? Лучше ведь будет.

Upd. Так. Пока составлял сообщение, Вы скорректировали своё - вторую часть своей претензии частично снимаю. Видите ли, в чём дело. Из того что в движущейся жидкости две линии тока параллельны, не следует, что скорость жидкости на этих линиях одна и та же, намёк понимаете? Всё-таки неплохо написать формальное выражение для циркуляции.

[tohaf]

Цитата:

Нет, поле - это не набор точек. Вы сами подумайте: Вы хотите задать некоторую величину в каждой точке области пространства - на величине акцент. Т.е. в области пространства задано поле некоторой величины, если каждой точке области поставлена в соответствие значение этой величины. Векторная величина - будет векторное поле, скалярная величина - скалярное поле и т.д.

Да, глупо. Поле - это набор векторов (поле напряженности) /скаляров (поле изотерм) , а уже вектор - это отрезок, которые имеет начало в какой-то точке и модуль (ну а скаляр - значение, которое привязано к точке). Так можно?

Цитата:

Выделенная часть цитаты непонятна вообще. Что Вы хотели сказать? У меня есть смутные подозрения, но будет лучше, если Вы оформите мысль сами.

Циркуляция вектора (в векторном поле) - это произведение замкнутого пути на вектор в каждой точке этого пути ? Не обязательно ведь, чтобы вектор в каждой точке этого пути был одинаков, но обязательно, чтобы путь был замкнутым?

(Оффтоп)

Цитата:

Фраза ужасна, уж простите.

Это вы уж простите. И извините за корректировки, я просто не ожидал, что в этом время кто-то будет отвечать, а когда формулируешь вопрос - возникает понимание, а чем больше понимание - тем сильнее изменяется вопрос.

[Metford]

tohaf в сообщении #1249370 писал(а):

вектор - это отрезок

Вот от этого лучше отвыкать. И чем скорее, тем лучше. Тем более что в данном случае такая интерпретация вектора немного Вам добавит к пониманию. В остальном уже лучше.
Да, и про поле изотерм - это напрасно. Лучше бы просто сказали о поле температур. Например, есть пластинка, которая как-то нагревается - ну, хоть пламенем снизу. Понятно, что в разных точках температура будет разная - вот Вам поле температур.

tohaf в сообщении #1249370 писал(а):

обязательно, чтобы путь был замкнутым?

Это - да.

Вы вот что скажите. Вы в каком образовательном учреждении обучаетесь? В среднем или высшем? Если высшем, то почему Вы до сих пор не выписали определение через интеграл? У Вас к нему антипатия?

[Munin]

Metford
См. Зильберман. Электричество и магнетизм.

tohaf в сообщении #1249364 писал(а):

Почему не рассматривается поле, линии которого имеют вид прямых (например, линии точечного электрического заряда)? Для простоты? Или если взять такое поле и замкнутый путь, то в этом поле не будет циркуляции вектора?

Да, в поле точечного электрического заряда - циркуляция равна 0.

tohaf в сообщении #1249364 писал(а):

Или, короче,так. Циркуляция вектора векторного поля - это:
1. Произведение именно замкнутого пути (то есть, отрезков между набором точек) умноженного на модуль вектора (в каждой точке) ? Да/нет.

Не произведение, а интеграл.

$$\operatorname{\text{циркуляция}}_L\,\vec{V}=\oint\limits_L \vec{V}\cdot d\vec{l}.$$

В этом интеграле, вектор $\vec{V}$ может меняться, и поэтому произведение взять недостаточно: надо весь путь разбить на малые отрезки, и на каждом отрезке вычислить своё произведение. Кроме того, там берётся не модуль, а проекция на направление отрезка пути, что иначе называется скалярным произведением векторов:

$$\vec{V}\cdot d\vec{l}=dl\,\operatorname{\text{проекция}}_{dl}\,\vec{V}=V\,dl\,\cos\widehat{V\,dl}.$$

tohaf в сообщении #1249364 писал(а):

2. И не обязательно, чтобы силовые линии поля имели замкнутый вид? Да/Нет.

Не обязательно. Про это в книге рассказано дальше.

[tohaf]

Цитата:

Да, и про поле изотерм - это напрасно. Лучше бы просто сказали о поле температур.

Понял.

Цитата:

высшем

Но я не понимаю, как здесь написать интеграл. Просто не было у нас векторного анализа, вот, пытаюсь хоть на минимальном уровне разобраться, чтобы лучше понимать емкости и индуктивности.
Я могу попробовать написать что-то такое:

$$A = \int\limits_{}^{} \vec{F}d\vec{S}$$

[Munin]

tohaf в сообщении #1249370 писал(а):

Не обязательно ведь, чтобы вектор в каждой точке этого пути был одинаков, но обязательно, чтобы путь был замкнутым?

Да, обязательно. Иначе это называют не циркуляцией, а просто интегралом. (Криволинейный интеграл второго рода - для математиков.)

[Metford]

tohaf в сообщении #1249375 писал(а):

Я могу попробовать написать что-то такое:

Кружочек ещё нужно навесить на интеграл, как у Munin в сообщении выше.
Остаётся только выяснить у Вас, понимаете ли Вы это образование - криволинейный интеграл? Т.е. простые расчёты Вы могли бы провести?

Кстати, я бы Вам посоветовал заглянуть в книгу Бабаджана, Гервидса и др. "Сборник качественных вопросов и задач по физике". Там есть несколько правильных задач по поводу циркуляции. Думаю, они бы Вам помогли.

Munin в сообщении #1249374 писал(а):

См. Зильберман. Электричество и магнетизм.

Ну, так на этой книге свет клином не сошёлся. Говорить о циркуляции исключительно словесно, без формул - как-то странно. Особенно в электричестве.

[Munin]

Metford в сообщении #1249377 писал(а):

Ну, так на этой книге свет клином не сошёлся.

Я в курсе, я просто указываю, по какой книге учится ТС. И его вопросы очевидно привязаны к тексту этой книги: что-то он прочитал, а чего-то - ещё не успел. И логично отвечать ему в этом же контексте.

Metford в сообщении #1249377 писал(а):

Говорить о циркуляции исключительно словесно, без формул - как-то странно.

Да, конечно. Но для начала - сойдёт. А эта книга - именно для начала, на школьном уровне. Там уравнения Максвелла написаны буквально на последней странице.

(Оффтоп)

Есть два типа книг по электромагнетизму. В одних уравнения Максвелла написаны в конце, в других - в начале.

[Metford]

Munin в сообщении #1249380 писал(а):

Я в курсе, я просто указываю, по какой книге учится ТС.

Ну, он это сказал сразу, я прочитал. А теперь внимание, вопрос: а что читал ТС по высшей математике к этому моменту? Если криволинейный интеграл уже есть в его арсенале, то не задействовать его - даже если этого не сделал Зильберман - странно. Вы, кстати, в первом же посте это и сделали. Ещё до ответа tohaf на вопрос о том, где он учится. Хотя, Вы могли уже знать...

Munin в сообщении #1249380 писал(а):

Есть два типа книг по электромагнетизму. В одних уравнения Максвелла написаны в конце, в других - в начале.

Знаю. Но пишущим уравнения Максвелла в конце ничто не мешает использовать циркуляцию с самого начала. Впрочем, это уже вопрос методический.

[Munin]

Metford в сообщении #1249381 писал(а):

А теперь внимание, вопрос: а что читал ТС по высшей математике к этому моменту? :-)

Видимо, ничего, если у него возникают такие вопросы. Впрочем, пусть сам отвечает.

Metford в сообщении #1249381 писал(а):

Но пишущим уравнения Максвелла в конце ничто не мешает использовать циркуляцию с самого начала.

Что Зильберман и делает.

Вы какую задачу пытаетесь решить? Помочь человеку, не знающему высшей математики, читать Зильбермана сквозь непонятное место (1), или послать его изучать высшую математику, что автоматически означает откладывание конкретного вопроса на несколько месяцев (2)?

[tohaf]

Цитата:

понимаете ли Вы это образование - криволинейный интеграл?

Ну, функция двух переменных - это, чаще всего, какая-то поверхность. Плоскость, сфера, еще что-либо.
Криволинейный интеграл - на плоскости XOY задана функция, кривая какая-нибудь. И еще задана функция двух переменных. Произведение кусочков этих двух функций (площадь между ними) и будет криволинейным интегралом. Расчёты вряд ли смогу привести.

[Metford]

Munin в сообщении #1249383 писал(а):

Что Зильберман и делает.

Нет. У него в первый раз криволинейный интеграл возникает при обсуждении постоянного тока, в связи с ЭДС.

Munin в сообщении #1249383 писал(а):

Вы какую задачу пытаетесь решить?

Для начала понять, что ТС знает...

[Munin]

tohaf
Советую вам, кроме Зильбермана, прочитать ещё
Парселл. Электричество и магнетизм.
Главу 2.

Там обсуждаются те же самые понятия: векторное поле, потенциал, источник, дивергенция, циркуляция, ротор. Но ещё и с формулами. И на достаточно простом языке, чтобы понять достаточно быстро.

(Зильберман пользуется словом "вихрь" (плотность вихрей), которое сегодня всегда передаётся словом "ротор".)

-- 21.09.2017 03:24:57 --

Metford

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1249386 писал(а):

Нет. У него в первый раз криволинейный интеграл возникает при обсуждении постоянного тока, в связи с ЭДС.

Я не про формулу, очевидно.

И вообще, предпочитаю не заваливать офтопиком тему, предназначенную для помощи человеку.

[Metford]

tohaf в сообщении #1249384 писал(а):

функция двух переменных - это, чаще всего, какая-то поверхность

Функция - это не поверхность!

tohaf в сообщении #1249384 писал(а):

Произведение кусочков этих двух функций

Хорошо, что математики этого скорее всего не увидят.

Откровенно говоря, даже не знаю, что добавить. Хотя похоже на то, что Munin будет сильно возражать, я склоняюсь к тому, чтобы предложить Вам сначала потратить время на подтягивание математики на нужный уровень, и только потом заниматься электродинамикой. Потому что если Вы не к ЕГовине готовитесь, а хотите по-настоящему разбираться в предмете (Вы же так и не уточнили, на какой находитесь стадии обучения) - без знания хотя бы основ векторного анализа не обойтись.

Munin в сообщении #1249387 писал(а):

Я не про формулу, очевидно.

И вообще, предпочитаю не заваливать офтопиком тему, предназначенную для помощи человеку.

А я, очевидно, про формулу. И про то, чего на мой взгляд явно не хватает если не у Зильбермана, то в этом обсуждении. Так что это не оффтоп, а обсуждение по литературе, относящейся к вопросу. Впрочем, как хотите...