Почему интегрирование и дифференцирование взаимно обратны

[wxthplvl65]

Здравствуйте уважаемые участники форума! Подскажите пожалуйста.
Не могу понять, почему интегрирование и дифференцирование взаимно обратные операции. Хочу объяснить на пальцах, а не проводить формальные выкладки.

Берем простейшую функцию $f(x)=1$. Разбиваем на три части длиной 1 (поскольку оба графика линейные, допустимо работать не на бесконечно малых интервалах, а на здоровенных единичных).
Площадь первого квадратика $1\cdot 1=1$. Ставим точку 1 на верхней функции $F(x)$. Площадь двух квадратиков $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1=2$. Ставим точку 2 на $F(x)$. Далее $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1=3$.
Итого, F(x) показывает накопление площади под f(x), как и положено первообразной.

Далее. Первая коричневая стрелка на $F(x)$ показывает возрастание $F(x)$ на первом интервале, возрастание равно 1. Ставим 1 на $f(x)$. Так как интервал равен 1, то делить необязательно.
Вторая коричневая стрелка $=1$, равна возрастанию $F(x)$ на втором интервале. Ставим 1 на $f(x)$.
Итого, $f(x)$ показывает возрастание $F(x)$ на каждом интервале, как и положено производной.

$F(x)$ является результатом умножения длины интервала на значение $f(x)$. Интервал постепенно плывёт от начала координат до бесконечности.

$f(x)$ является результатом деления приращения $F(x)$ на интервале на длину интервала. Процедура деления проплывает от начала координат до бесконечности.

Ну и как они связаны?

[mihaild]

wxthplvl65 в сообщении #1244089 писал(а):

F(x) является результатом умножения длины интервала на значение f(x). Интервал постепенно плывёт от начала координат до бесконечности.

f(x) является результатом деления приращения F(x) на интервале на длину интервала. Процедура деления плывёт от начала координат до бесконечности.

Ну и как они связаны?

Если в этих терминах, то мы взяли $f(x)$, умножили на длину интервала - получили $F(x)$. Если после этого обратно поделить на длину того же интервала, то мы внезапно опять получим $f(x)$.
(но вообще т.к. интегралы интересны как раз для более сложных функций, возможно лучше смотреть менее тривиальный случай)

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

wxthplvl65 в сообщении #1244089 писал(а):

Хочу объяснить на пальцах

Для начала:

"хочу объяснить" и "хочу получить объяснение" - это взаимно обратные операции.

[wxthplvl65]

))) точно!

[ewert]

wxthplvl65 в сообщении #1244089 писал(а):

Не могу понять, почему интегрирование и дифференцирование взаимно обратные операции.

Смотря какое интегрирование. Определённые и неопределённые интегралы -- это принципиально разные вещи, изначально не имеющие между собой вообще ничего общего. Это уже только потом выясняется, что они родственны.

Неопределённое интегрирование по определению есть операция, обратная к дифференцированию (ну там с нюансами -- не интегрирование, а взятие первообразной).

Определённый же интеграл -- это сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых. Или, как говорят студенты курсе на 3-м, если их спросить, и говорят на ещё худшем жаргоне -- это площадь. Ну и на том спасибо.

А потом вдруг оказывается, что определённый интеграл связан-таки с первообразными. Чтобы это увидеть, надо рассмотреть определённый интеграл с переменным верхним пределом как функцию этого верхнего предела. Если взять бесконечно малое приращение такого интеграла, то получится площадь бесконечно узкого прямоугольничка высотой, равной значению функции и шириной, равной приращению верхнего предела. И если потом на последнее приращение поделить (т.е. взять производную от интеграла), то подынтегральная функция и получится.

Т.е. производная интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу есть подынтегральная функция, т.е. первообразная (сиречь более-менее неопределённый интеграл) от исходной функции и есть интеграл с переменным верхним пределом. Вот и связь.

Конечно, это вульгарно; но Вы ведь и просили на пальцах. Тогда ровно так -- на сегодняшний день. Ньютон с Лейбницем думали, конечно, о том же, но на ещё менее формализованном уровне. Они все эти выкладки прокручивали в мозгах на автомате, чисто интуитивно.

-- Чт авг 31, 2017 22:09:05 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1244128 писал(а):

"хочу объяснить" и "хочу получить объяснение" - это взаимно обратные операции.

Кстати, нет. Обратной операцией к первому является скорее "хочу запудрить мозги", хотя и это неточно.

На самом деле это вообще не операции. Как не является операцией, скажем, желание мороженого (что актуально, ибо лето наконец наступило, не знаю уж, на сколько дней).

[provincialka]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1244167 писал(а):

Кстати, нет. Обратной операцией к первому является скорее "хочу запудрить мозги", хотя и это неточно.

Ну... это как посмотреть. Пусть "Хочу объяснить" = "Делаю понятное мне понятным вам", то обратное будет как раз "Сделайте понятное вам понятным мне". А "Хочу запудрить мозги" -- скорее противоположное желание

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1244183 писал(а):

Пусть "Хочу объяснить" = "Делаю понятное мне понятным вам", то обратное будет как раз

"не хочу обьяснять" =....

На мой взгляд, это ближе к тому, что говорит ewert

[Munin]

ewert в сообщении #1244167 писал(а):

Кстати, нет. Обратной операцией к первому является скорее "хочу запудрить мозги", хотя и это неточно.

Не обратной, а противоположной :-)

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1244167 писал(а):

лето наконец наступило, не знаю уж, на сколько дней

Вы, как всегда, вовремя. Лето как раз уже кончилось, холодрыга страшная.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

А мы весну ждем. Еще не дождались.

[Munin]

(Оффтоп)

Да разве могут дети юга,
Где розы пахнут в декабре...

(Эренбург, исполнение Никитиных)

[wxthplvl65]

То есть для функции $F(x)=4x$ обращение производной будет 4 (длина стрелки) делим на 1 (длина отрезка) получаем 4 (значение $f(x)$ в той точке, где считаем произвозную). Я правильно понимаю?




-- 01.09.2017, 13:50 --



Получается, длина коричневой стрелки равна площади одного квадратика, и сумма всех стрелок равна площади всех квадратиков под кривой. Так вот она где - связь )))

[Munin]

wxthplvl65 в сообщении #1244272 писал(а):

То есть для функции $F(x)=4x$ обращение производной будет...

Только не обращение, а сама производная. Да, $(F(x))'=(4x)'=4=f(x).$

[arseniiv]

Связь на самом деле называется «теорема Ньютона—Лейбница» (плюс взятие первообразной по определению обратно дифференцированию). Вот она сразу для всех подходящих функций, а не только для константы (как скучно), как уже замечено mihaild.