Эквивалентная для интеграла с переменным верхним пределом

[demolishka]

Пусть $g(t) = \int\limits_{0}^{t} e^{\sqrt{x} + \sin x} dx$. Нужно найти эквивалентную функцию для $g$ при $t \to +\infty$.

В случае, например, интеграла $\int\limits_{0}^{t} e^{x^2 + \sin x} dx$ достаточно домножить и поделить на $2x + \cos x$ и проинтегрировать по частям - оставшийся интеграл оказывается маленьким по сравнению с исходным.

В исходном же случае, производная того что под экспонентой $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \cos x$ обращается в ноль. Непонятно из каких соображений нужно действовать в этом случае. Перепробовал несколько замен/домножений и ничего хорошего не получилось.

[amon]

С точки зрения рабочих и крестьян. Я бы сделал замену $\sqrt{x}=u$, получившийся интеграл переписал как $\int e^{\sin u^2}\frac{d}{du}\left( (u-1)e^u\right)du$, проинтегрировал бы по частям, и понадеялся бы на то, что главный вклад дает внеинтегральный член, поскольку под получившимся интегралом останется $\cos u^2$ в качестве множителя.

[lel0lel]

Можно вычислить численно $\int_0^{2\pi}e^{\sin x}dx/(2\pi)$.

[amon]

IMHO, тоже самое, но чуть более наукообразно, получается просто по теореме о среднем.

[ex-math]

Да, надо пользоваться периодичностью синуса. Записать как интеграл по периоду, а получившуюся внутри сумму сдвинутых экспонент асимптотически вычислить.

[demolishka]

Ну, для суммы получилось, что $\sum\limits_{k=0}^{\frac{t}{2\pi}}e^{\sqrt{x+2\pi k}} \sim \frac{1}{\pi}\sqrt{t}e^{\sqrt{t}}$. Так, что исходный интеграл видимо эквивалентен $\frac{C}{\pi}\sqrt{t}e^{\sqrt{t}}$, где $C=\int\limits_{0}^{2\pi}e^{\sin x} dx$.

amon, не получилось по рабоче-крестьянски

ex-math, спасибо за подсказку.

UPD. Хотя кажется я что-то недопонял. Потому что по такому методу для $\int\limits_{0}^{t} e^{x^2+\sin x} dx$ получается эквивалентная без множителя $e^{\sin t}$, который вылазит при интегрировании по частям, но с другой константой...

[demolishka]

demolishka в сообщении #1236361 писал(а):

UPD. Хотя кажется я что-то недопонял. Потому что по такому методу для $\int\limits_{0}^{t} e^{x^2+\sin x} dx$ получается эквивалентная без множителя $e^{\sin t}$, который вылазит при интегрировании по частям, но с другой константой...

Проблема, как я понимаю, в том, что я не оценил хвосты $\int\limits_{t_0=2\pi \lfloor \frac{t}{2\pi}\rfloor}^{t}\ldots$. Пока непонятно, что с ними делать.

[amon]

demolishka в сообщении #1236361 писал(а):

$C=\int\limits_{0}^{2\pi}e^{\sin x} dx$

Ох, моё крестьянское нутро говорит, что что-то у Вас наврато. По теореме о среднем $\int\limits_{0}^{t} e^{\sqrt{x} + \sin x} dx=e^{\sin t_0}\int\limits_{0}^{t} e^{\sqrt{x}}dx$, т.е. константа должна быть между $e$ и $1/e$. Я бы за неё и бороться не стал бы, но математика - наука занудная, так что замолкаю.

[demolishka]

amon, а там еще на $\pi$ делится. Но все равно, как я уже сказал, этот ответ правильный только при $t=2\pi k$.

[lel0lel]

demolishka в сообщении #1236373 писал(а):

Но все равно, как я уже сказал, этот ответ правильный только при $t=2\pi k$.

Так усредните отдельно хвост. Благо - у интегралов, как и у ящериц, их отделение не смертельно.

[ex-math]

Хвост будет $O(e^{\sqrt t})$.

-- 28.07.2017, 07:14 --

А интеграл от экспоненты синуса по периоду можно записать в виде ряда, если сделать замену $z=e^{ix}$ и пользоваться вычетами. Ряд знакочередующийся и очень быстро сходится. Это какая-то функция Бесселя к тому же.

-- 28.07.2017, 07:26 --

К первому интегралу этот метод неприменим, как раз из-за большого хвоста. Функция слишком быстро растет.

[demolishka]

Да, хвост в случае $\int\limits_{0}^{t} e^{\sqrt{x} + \sin x} dx$ относительно мал, поэтому ответ такой как я написал выше. В случае же с $\int\limits_{0}^{t} e^{x^2 + \sin x} dx$ не получится даже оценить сумму сдвинутых экспонент через соответствующий интеграл.

Всем участникам большое спасибо за дискуссию.