Наложения и вложения

[Charlz_Klug]

Задача:
Перечислите все отображения $\{0,1,2\} \to \{0,1\}$ и $\{0,1\} \to \{0,1,2\}$. Сколько среди них вложений и сколько наложений.

Моё решение:
Наложение - отображение при котором прообраз каждой точки $y \in Y$ не пуст.
Вложение - отображение при котором прообраз каждой точки $y \in Y$ содержит не более одного элемента.

Для $\{0,1,2\} \to \{0,1\}$:
$0 \to 0$,
$0 \to 1$,
$1 \to 0$,
$1 \to 1$,
$2 \to 0$,
$2 \to 1$.
Получается $6$ наложений и $0$ вложений. С ответом сошлось.

Для $\{0,1\} \to \{0,1,2\}$:
$0 \to 0$,
$0 \to 1$,
$0 \to 2$,
$1 \to 0$,
$1 \to 1$,
$1 \to 2$.
Насчитал $6$ наложений и $0$ вложений. (В ответе: $6$ вложений и ни одного наложения.) Я что-то не понимаю. Пожалуйста, укажите на ошибку.

[Anton_Peplov]

Charlz_Klug в сообщении #1232080 писал(а):

Наложение - отображение при котором прообраз каждой точки $y \in Y$ не пуст.
Вложение - отображение при котором прообраз каждой точки $y \in Y$ содержит не более одного элемента.

Хм, теперь слова "сюръекция" и "инъекция" принято переводить на русский? Ссылку на учебник не дадите?

[Charlz_Klug]

Anton_Peplov, учебник страница $5$.

-- 07.07.2017, 21:53 --

В следующий раз буду расписывать подробней.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1232080 писал(а):

Перечислите все отображения

Э-э-э… А где перечисление всех отображений?

Charlz_Klug в сообщении #1232080 писал(а):

Я что-то не понимаю. Пожалуйста, укажите на ошибку.

Думаю, вопрос разъяснится, когда Вы перечислите все отображения (в обоих заданиях). У меня большое подозрение, что в первом случае ваш ответ оказался правильным случайно.

[Charlz_Klug]

Someone, так я же их всех и перечислил. По-моему, там больше и перечислять нечего.

[Xaositect]

Charlz_Klug, давайте начнем сначала. Во-первых, напишите, что такое отображение?
Во-вторых, приведите один пример отображения $\{0,1,2\} \to \{0,1\}$. Любого, не обязательно вложения или наложения.

[Anton_Peplov]

Charlz_Klug в сообщении #1232098 писал(а):

так я же их всех и перечислил.

Все отображения Вы не перечислили точно. А мне минус за невнимательность - этот пункт задания я просто просмотрел.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1232108 писал(а):

Все отображения Вы не перечислили точно.

Даже ещё хуже: не указано вообще ни одного отображения ни для одного из заданий.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1232082 писал(а):

Хм, теперь слова "сюръекция" и "инъекция" принято переводить на русский?

Дык, импортозамещение же. В данном случае вполне даже неплохо звучащее.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1232113 писал(а):

В данном случае вполне даже неплохо звучащее.

Замена "инъекция $\to$ вложение" неудобна в топологии, где слово "вложение" занято.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Насколько помню, топологическое вложение - это тоже инъекция, хоть и непрерывная.
В чём неудобство то?

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Непрерывная инъекция, да не всякая. Отображение $X \to Y$ называется вложением $X$ в $Y$, если его подотображение $X \to f(X)$ есть гомеоморфизм. Это гораздо круче, чем произвольная непрерывная инъекция.

[Charlz_Klug]

Xaositect, отображение $\text{---}$ это некоторый закон по которому точка $x \in X$ переходит в точку $y \in Y$. Ну и, например, берём $1$ из множества $\{0,1,2\}$ и переводим в точку $1$ из множества $\{0,1\}$.

[Anton_Peplov]

Charlz_Klug в сообщении #1232178 писал(а):

отображение $\text{---}$ это некоторый закон по которому точка $x \in X$ переходит в точку $y \in Y$.

В таком виде очень трудно счесть это определением отображения. Пропущены некоторые важные слова. Кстати, в Вашем учебнике они не пропущены.

Кстати, назовите несколько отображений, знакомых Вам из школьного курса. Они там точно были, только назывались не отображениями, а как-то иначе.

(Оффтоп)

Между прочим, автору в своем учебнике тоже стоило бы их упомянуть. А то человек, кажется, пребывает в иллюзии, что он отображения в первый раз видит.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1232178 писал(а):

Ну и, например, берём $1$ из множества $\{0,1,2\}$ и переводим в точку $1$ из множества $\{0,1\}$.

Вот это "например" — вовсе не отображение. Сформулируйте, пожалуйста, определение отображения, не пропуская в нём никаких слов и не заменяя их своими.

(Оффтоп)

Charlz_Klug в сообщении #1232178 писал(а):

отображение $\text{---}$ это некоторый закон

Употребление слова "закон" вне контекста конструктивной математики выглядит архаизмом.

P.S. Получить тире в тексте можно, нажав левую кнопку Alt и, удерживая её, набрать на цифровой клавиатуре 0151. Многоточие получится, если набрать 0133. Всякие другие коды можно подсмотреть в программе "Таблица символов".