2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти формулу общего члена
Сообщение28.06.2017, 17:31 
Аватара пользователя


04/06/17
183
Найти формулу общего члена последовательности ${a_{n}}$, заданной рекуррентно:
$a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+8n$

Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

Но это ведь не совсем ответ, потому что мы по формуле должны уметь получить и $a_{1}$, а не задавать его явно. Что делать с этим $8n$, не будь его можно было бы решить характеристическое уравнение.

Можно привести к такому виду:

$a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8$ Что делать с восьмеркой? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение28.06.2017, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):
Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

Но это ведь не совсем ответ, потому что мы по формуле должны уметь получить и $a_{1}$, а не задавать его явно
Э-э-э… А Вы не пробовали подставить $n=1$ в $a_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение28.06.2017, 17:35 


08/05/08
593
Зачем тут характеристическое уравнение?
Разности между соседними членами последовательности у вас образуют арифметическую прогрессию, вы это заметили? Значит сама последовательность что образует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение28.06.2017, 17:41 
Аватара пользователя


04/06/17
183
Someone в сообщении #1230208 писал(а):
Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):
Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

Но это ведь не совсем ответ, потому что мы по формуле должны уметь получить и $a_{1}$, а не задавать его явно
Э-э-э… А Вы не пробовали подставить $n=1$ в $a_n$?


Мне нечего сказать, извините, это жара так на меня ужасно влияет - не смог подставить 1 в формулу :facepalm:
Спасибо:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение28.06.2017, 17:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):
Можно привести к такому виду:

$a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8$ Что делать с восьмеркой? :)

Можно, но вредно. Если всё же так уж хочется решать это уравнение именно как разностное, то нужно искать частное решение в виде $n^2\cdot A$ из-за двукратного резонанса (соответственно, для исходного уравнения -- в виде $n\cdot(An+B)$ из-за резонанса однократного).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение30.06.2017, 12:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
ewert в сообщении #1230219 писал(а):
нужно искать частное решение в виде

А зачем, не проще ли перенести и сложить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение30.06.2017, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):
Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

На всякий случай $1+\dfrac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}=(2n-1)^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти формулу общего члена
Сообщение30.06.2017, 19:40 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):
Что делать с восьмеркой?
На всякий случай: то же самое, что вы, полагаю, проделали с $n$.
\begin{tabular}{l}$a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8$\\
$a_{n-1}=2a_{n-2}-a_{n-3}+8$\\
$\mathstrut 8=a_{n-1}-2a_{n-2}+a_{n-3}$\\
$\mathstrut a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8=2a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-1}-2a_{n-2}+a_{n-3}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$\\\end{tabular}

Таки да, уравнение будет уже кубическим.
Как вариант — построить аналог дифференциальным уравнениям. Помните? Если справа стоит $P(x)e^{rx}$, то частное решение ищем в виде $Q(x)x^ke^{rx}$, где $Q(x)$ — неизвестный многочлен той же степени, а $k$ — кратность корня $r$ в характеристическом уравнении. С рекуррентными формулами аналогично: если свободный член вида $P(n)r^n$, то ему соответствует $Q(n)n^kr^n$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group