Найти формулу общего члена

[Tiberium]

Найти формулу общего члена последовательности ${a_{n}}$, заданной рекуррентно:
$a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+8n$

Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

Но это ведь не совсем ответ, потому что мы по формуле должны уметь получить и $a_{1}$, а не задавать его явно. Что делать с этим $8n$, не будь его можно было бы решить характеристическое уравнение.

Можно привести к такому виду:

$a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8$ Что делать с восьмеркой? :)

[Someone]

Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):

Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

Но это ведь не совсем ответ, потому что мы по формуле должны уметь получить и $a_{1}$, а не задавать его явно

Э-э-э… А Вы не пробовали подставить $n=1$ в $a_n$?

[ET]

Зачем тут характеристическое уравнение?
Разности между соседними членами последовательности у вас образуют арифметическую прогрессию, вы это заметили? Значит сама последовательность что образует?

[Tiberium]

Someone в сообщении #1230208 писал(а):

Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):

Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

Но это ведь не совсем ответ, потому что мы по формуле должны уметь получить и $a_{1}$, а не задавать его явно

Э-э-э… А Вы не пробовали подставить $n=1$ в $a_n$?

Мне нечего сказать, извините, это жара так на меня ужасно влияет - не смог подставить 1 в формулу
Спасибо:)

[ewert]

Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):

Можно привести к такому виду:

$a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8$ Что делать с восьмеркой? :)

Можно, но вредно. Если всё же так уж хочется решать это уравнение именно как разностное, то нужно искать частное решение в виде $n^2\cdot A$ из-за двукратного резонанса (соответственно, для исходного уравнения -- в виде $n\cdot(An+B)$ из-за резонанса однократного).

[bot]

ewert в сообщении #1230219 писал(а):

нужно искать частное решение в виде

А зачем, не проще ли перенести и сложить?

[Andrey A]

Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):

Ответ может быть в такой форме: $ a_{1}=1, a_{n}=1+\frac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}$ для $ n > 1$

На всякий случай $1+\dfrac{8\cdot(n-1)\cdot n}{2}=(2n-1)^2.$

[iifat]

Tiberium в сообщении #1230204 писал(а):

Что делать с восьмеркой?

На всякий случай: то же самое, что вы, полагаю, проделали с $n$.
\begin{tabular}{l}$a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8$\\ $a_{n-1}=2a_{n-2}-a_{n-3}+8$\\ $\mathstrut 8=a_{n-1}-2a_{n-2}+a_{n-3}$\\ $\mathstrut a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}+8=2a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-1}-2a_{n-2}+a_{n-3}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$\\\end{tabular}

Таки да, уравнение будет уже кубическим.
Как вариант — построить аналог дифференциальным уравнениям. Помните? Если справа стоит $P(x)e^{rx}$, то частное решение ищем в виде $Q(x)x^ke^{rx}$, где $Q(x)$ — неизвестный многочлен той же степени, а $k$ — кратность корня $r$ в характеристическом уравнении. С рекуррентными формулами аналогично: если свободный член вида $P(n)r^n$, то ему соответствует $Q(n)n^kr^n$