2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение10.06.2017, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
У меня тоже есть неполное решение, в котором почему-то "вылезает" $\sqrt 2$. Во введенных выше обозначаниях имеем
$$\sum\frac{1}{(1+b_i)^2}-\sum(1+b_i)^2=\sum\frac{1}{(1+b_i)^2}-\sum(1-b_i)^2=\sum\frac{b_i^2(2-b_i^2)}{(1+b_i)^2}$$
Так что если все $b_i$ по модулю не превосходят $\sqrt 2$, то выражение неотрицательно, что равносильно исходному неравенству.

Все время кажется, что эту идею можно "добить" так, чтобы она включала и б'ольшие $b_i$.

Кстати, большим, чем $\sqrt2$ может быть только одно $b_i$, при этом два других будут отрицательными. То есть приведенное рассуждение порывает второй случай?

Хм... надеюсь, я тут не напутала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение10.06.2017, 20:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
ewert в сообщении #1223553 писал(а):
Сфера $x^2+y^2+z^2=3$ касается плоскости $x+y+z=3$ с одной стороны, а поверхность $\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}=3$ -- с другой.

По-моему, у последней есть седловая точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение11.06.2017, 12:18 


03/03/12
1380
arqady в сообщении #1223858 писал(а):
Что со вторым случаем?

TR63 в сообщении #1223589 писал(а):
Тогда исходное неравенство можно переписать так

$a_3^4+\frac{(a_1^2+a_2^2)(a_1^2a_2^2-1)}{a_1^2a_2^2}a_3^2-1\le0$

Из условия $a_1+a_2+a_3=3$

TR63 в сообщении #1224069 писал(а):
2). $a_1\le1$, $a_2\le1$, $a_3\ge1$

Сделаем замену переменных: $t=a_1a_2$ и учтём в числителе,что $a_1^2+a_2^2=(a_1+a_2)^2-2a_1a_2=(3-a_3)^2-2t$. Получим кубическое неравенство относительно переменной $t$ (его минимизация является уже простой задачей: ищем частную производную (она отрицательна; вроде, всё сходится) . Получилось так:

$f=2a_3^2t^3-a_3^2(3-a_3)^2t^2-(a_3^4+2a_3^2-1)t+(3-a_3)^2a_3^2\ge0$
Если с арифметикой не ошиблась, то можно искать минимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение11.06.2017, 13:15 


25/08/11

1074
Вопрос: существует версия интерполяционного неравенства типа Ляпунова для средних, которое связывает тройку средних порядков: -2, 1, 2 ? Я для отрицательных порядков такого нер. Ляпунова не знаю. Если есть-можно попробовать применить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение12.06.2017, 17:57 


03/03/12
1380
provincialka в сообщении #1224088 писал(а):
То есть приведенное рассуждение порывает второй случай?

"Порывает"-в смысле покрывает? Да, покрывает, если Ваш метод объединить с моим методом для моего первого случая. Можно будет обойтись и без частных производных, что ближе к уровню девятого класса. (Это я только сейчас заметила.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение12.06.2017, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
"Покрывает", конечно! Клавиатура плохая... А вы не пробовали аналогично и 1 случай разобрать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение12.06.2017, 21:46 


03/03/12
1380
provincialka в сообщении #1224717 писал(а):
А вы не пробовали аналогично и 1 случай разобрать?

Если использовать только Ваш метод, то нет, не пробовала. На этот счёт нет идей. Ваш метод мне понравился. Очень простой. Если у Вас есть идея, выкладывайте. Будет интересно ознакомиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение12.06.2017, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ох... пока не получилось.. забросила

(Оффтоп)

Кстати, основную часть рассуждений я провела в кресле стоматолога :wink: )) часа 2 там сидела, ску-у-учно! Думала, с ручкой и бумагой лучше пойдёт... Но, видимо, не хватило адреналина

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение21.06.2017, 07:57 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #1223541 писал(а):
Для положительных $(a_1,a_2,a_3)$ при условии $a_1+a_2+a_3=3$ доказать неравенство

$$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}\ge a_1^2+a_2^2+a_3^2$$


Моим методом (стандартным) (плюс чуть-чуть изюма) можно решить более общую задачу: для положительных $(a_1,...,a_n)$ с условием $a_1+a_2+...+a_n=n$ при каких $(n)$ верно неравенство

$$\frac{1}{a_1^2}+...+\frac{1}{a_n^2}\ge a_1^2+...+a_n^2$$

А, с помощью гипотезы, которой я всегда пользуюсь перед решением задачи, ответ получается автоматически (пока осечек не было).
Предлагаю решить обобщённую задачу. Приветствуются любые логические методы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение21.06.2017, 21:50 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TR63 в сообщении #1227803 писал(а):
Моим методом (стандартным) (плюс чуть-чуть изюма) можно решить более общую задачу: для положительных $(a_1,...,a_n)$ с условием $a_1+a_2+...+a_n=n$ при каких $(n)$ верно неравенство

$$\frac{1}{a_1^2}+...+\frac{1}{a_n^2}\ge a_1^2+...+a_n^2$$

А, с помощью гипотезы, которой я всегда пользуюсь перед решением задачи, ответ получается автоматически (пока осечек не было).
Предлагаю решить обобщённую задачу. Приветствуются любые логические методы.

Оно неверно для всех $n\geq11$ и верно для всех $1\leq n\leq10$.
Для $n=4$ оно усиливается даже до следующего.
Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ положительные числа, для которых $a+b+c+d=4$. Докажите, что:
$$2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\right)\geq a^2+b^2+c^2+d^2$$
Для $n=3$ имеется следующее усиление.
Для положительных $a$, $b$ и $c$, для которых $(a+b+c)(ab+ac+bc)^{18}=3^{19}$ докажите, что
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение21.06.2017, 22:14 


25/08/11

1074
arqady - А до 10 верно? Как строится контрпример с 11? Это где-то написано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение21.06.2017, 22:22 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Решение для $n=10$ я ещё не публиковал. Контр-пример для $n>10$ даёт $a_1=...=a_{n-1}=x$ и $a_n=n-(n-1)x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение27.06.2017, 10:10 


03/03/12
1380
arqady в сообщении #1228057 писал(а):
Оно неверно для всех $n\geq11$ и верно для всех $1\leq n\leq10$.

arqady в сообщении #1228072 писал(а):
Решение для $n=10$ я ещё не публиковал.

У меня получается теоретически и гипотетически, что неравенство верно при $n\le4$. Плюс гипотетически верно при $n=5$. При $n>5$ гипотетически неверно (возможно ошиблась; там тонкие рассуждения). Теоретически при $4<n\le10$ ответ пока не знаю.
arqady, если у Вас есть решение, будет интересно с ним ознакомиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение27.06.2017, 18:00 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #1229919 писал(а):
При $n>5$ гипотетически неверно (возможно ошиблась; там тонкие рассуждения).

Да, ошиблась. Т.е. при $4<n<11$ возникли затруднения с ответом.
TR63 в сообщении #1229919 писал(а):
arqady, если у Вас есть решение, будет интересно с ним ознакомиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение28.06.2017, 14:28 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
OK. Ознакомляйтесь!
Пусть $f(x)=-\frac{1}{x^2}+x^2$.
Тогда $f''(x)=-\frac{6}{x^4}+2<0$ for all $0<x\leq1$.
Тогда согласно

(Теореме)

Вложение:
4_applications_of_lcf_and_rcf_theorems (1).pdf [56.56 Кб]
Скачиваний: 126
о лево-вогнутой функции остаётся доказать наше неравенство для $x_1=x_2=...=x_9=x$ и $x_{10}=10-9x$, где $0<x\leq1$.
То-бишь, остаётся доказать, что:
$$\frac{9}{x^2}+\frac{1}{(10-9x)^2}\geq9x^2+(10-9x)^2$$ или
$$(x-1)^2(10+2x-109x^2+180x^3-81x^4)\geq0,$$
что верно даже для всех $0<x\leq\frac{10}{9}$.
Done!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group