Алгоритм нахождения Жордановой формы матрицы?

[tremor]

встрял где-то на серединке, просто не могу понять, что делать далее.

Дана матрица:

$$A=\begin{pmatrix} 0 & 6 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\1 & -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

1.) Нашёл характеристический многочлен и собственное значение:

$$\mathrm{det}|A-\lambda{I}|= \begin{vmatrix} 0 - \lambda & 6 & 4 & 0 \\ 0 & 4-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2-\lambda & -1 \\ 1 & -3 & -2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (\lambda-2)^4$$

Соответственно собственное значение $\lambda=2$

2.) Подставил это собственное значение в матрицу, получил:

$$A_{\varphi}=\begin{pmatrix} -2 & 6 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$

3.) Нашёл ранг матрицы $A_{\varphi}$

$$A_{\varphi}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$

Соответственно $\mathrm{rank}A_{\varphi}=2$

А вот что делать дальше я не знаю...

[Xaositect]

А какой вывод можно сделать из того, что Вы уже сделали?
И откуда Вы узнали, что нужно делать то, что Вы уже сделали?

[tremor]

Xaositect в сообщении #1224943 писал(а):

А какой вывод можно сделать из того, что Вы уже сделали?
И откуда Вы узнали, что нужно делать то, что Вы уже сделали?

узнал из книг, только везде по разному немного написано вот я и запутался. Пока что я понял, что так как кратность у меня 4, а собственное значение одно, то по диагонали в Жордановой матрице будут стоять двойки а порядок матрицы будет равен 4

[svv]

А сколько будет Жордановых клеток?

[tremor]

svv в сообщении #1224997 писал(а):

А сколько будет Жордановых клеток?

2?

-- 13.06.2017, 17:21 --

$4-\mathrm{rank}A_{\varphi} = 4 -2 =2$

[svv]

Да. Ну, теперь надо выяснить размер каждой клетки.

[Slav-27]

tremor в сообщении #1224936 писал(а):

Соответственно $\mathrm{rank}A_{\varphi}=2$

А вот что делать дальше я не знаю...

Итак, оператор $A-2I$ действует на 4-мерном пространстве, а образ у него 2-мерный. Значит, в жордановом базисе 2 вектора переводятся в $0$. Как могут там расположиться остальные 2? Вариантов немного:

Первый:
$\begin{tabular}{cc} $v_2$ & $v_4$\\ \downarrow & \downarrow \\ $v_1$ & $v_3$\\ \downarrow & \downarrow \\ $0$ & $0$ \\ \end{tabular}$

Второй:
$\begin{tabular}{cc} $v_3$ & \\ \downarrow & \\ $v_2$ & \\ \downarrow & \\ $v_1$ & $v_4$\\ \downarrow & \downarrow \\ $0$ & $0$ \\ \end{tabular}$

1) Какая жорданова форма в 1-м и во 2-м случае?

Теперь надо выяснить, какой случай имеет место.

2) Какова размерность образа $(A-2I)^2$ в 1-м случае? во 2-м?

[tremor]

svv в сообщении #1225062 писал(а):

Да. Ну, теперь надо выяснить размер каждой клетки.

вот с этим беда, не особо понял как его считают

[svv]

Так вот же Slav-27 выше рассказал, как.

[tremor]

svv в сообщении #1225261 писал(а):

Так вот же Slav-27 выше рассказал, как.

где-то я еще читал, что необходимо найти собственный вектор для собственного значения, это верно?

-- 14.06.2017, 11:18 --

Причем как я понимаю собственных векторов должно быть два, и один из них

$ \vec{a}=(6,0,3,0)$

[Brukvalub]

tremor в сообщении #1225298 писал(а):

где-то я еще читал, что необходимо найти собственный вектор для собственного значения, это верно?

Заявления такого рода означают, что "я и не пытался особо разобраться, напишу-ка я на форум, пусть они потрудятся и все мне растолкуют, иначе зачем эти форумы нужны?"
А вы потрудитесь, почитайте, например, вот это, а потом, если останутся вопросы, задайте их, предварительно что-то уже осознав самостоятельно.

[tremor]

Brukvalub в сообщении #1225302 писал(а):

tremor в сообщении #1225298 писал(а):

где-то я еще читал, что необходимо найти собственный вектор для собственного значения, это верно?

Заявления такого рода означают, что "я и не пытался особо разобраться, напишу-ка я на форум, пусть они потрудятся и все мне растолкуют, иначе зачем эти форумы нужны?"
А вы потрудитесь, почитайте, например, вот это, а потом, если останутся вопросы, задайте их, предварительно что-то уже осознав самостоятельно.

Таки я и прочитал и даже вектор нашел (правда их должно быть два), тут скорее был вопрос "а правильно ли я понял?"

[Brukvalub]

tremor, так вы проделайте всю работу по поиску ЖНФ, изложите ее здесь, тогда разговор станет осмысленным. А вопросы "я написАл 2 строчки и испугался, что сделаю что-то не то и очень устану, срочно пишите, что мне делать дальше" никак не демонстрируют, что вы все глубоко и прочно проработали и только сверяете свои действия с реальностью.

[Slav-27]

tremor
Для нахождения жордановой формы искать собственные векторы не обязательно.

Результаты, которых вы уже достигли, говорят вам: на жорданову форму есть только два кандидата. (Какие? Смотрите мой пост выше.) Осталось выяснить, какой из них правильный. Как выяснить? А посмотреть, чем они отличаются. Например, посмотреть на ранг $(A-2I)^2$.

[tremor]

Slav-27 в сообщении #1225315 писал(а):

tremor
Для нахождения жордановой формы искать собственные векторы не обязательно.

Результаты, которых вы уже достигли, говорят вам: на жорданову форму есть только два кандидата. (Какие? Смотрите мой пост выше.) Осталось выяснить, какой из них правильный. Как выяснить? А посмотреть, чем они отличаются. Например, посмотреть на ранг $(A-2I)^2$.

я обнаружил два л/н вектора $a_1=(1,-1,-2,2)$ и $a_2=(-1,1,2,2)$, получается эти есть те два вектора?