Совместные/несовместные и зависимые/независимые события

[hedgehogues]

Привет. Вопрос в следующем. Могут ли не совместные события быть зависимыми? Если нет, то как это показать формально?

Начнём с совместных событий. Просто по определению:

$P(A + B) = P(A) + P(B)$ -- несовместные
$P(A + B) \leq P(A) + P(B)$ -- совместные

Этим формулам отвечают соответственно следующие картинки:


Рассмотрим теперь зависимые события. Для начала моё, неформальное понимание этого факта. Рассмотрим следующий пример, для которого предложим картинку:



Эксперимент: мы называем любое число из отрезка $[0, 1]$ и смотрим за тем, что это число будет между, например, $0.1$ и $0.4$. Как нетрудно догадаться, вероятность этого события будет равна отношению длины отрезка $[0.1, 0.4]$ к общей длине отрезка $[0, 1]$ (другими словами, отношение «количества» возможных равновероятных значений к общему «количеству» значений), то есть $\dfrac{(0.4 - 0.1)}{(1 - 0)} = 0.3$, то есть вероятность попадания в отрезок $[0.1, 0.4]$ равна $30\%$.

Допустим, мы должны называть пары чисел (x, y), каждое из которых больше нуля и меньше единицы. Вероятность того, что x (первое число) будет в пределах отрезка [0.1, 0.4] (показан на первом рисунке как синяя область, на данный момент для нас второе число y не важно), равна отношению площади синей области к площади всего квадрата, то есть $\dfrac{(0.4 - 0.1) (1 - 0)}{(1 \cdot 1)} = 0.3$, то есть $30\%$. Таким образом можно записать, что вероятность того, что x принадлежит отрезку $[0.1, 0.4]$ равна $p(0.1 \leq x \leq 0.4) = 0.3$ или для краткости $p(X) = 0.3$.
Если мы теперь посмотрим на y, то, аналогично, вероятность того, что y находится внутри отрезка $[0.5, 0.7]$ равна отношению площади зеленой области к площади всего квадрата $p(0.5 \leq y \leq 0.7) = 0.2$, или для краткости $p(Y) = 0.2$.
Теперь посмотрим, что можно узнать о значениях одновременно x и y.
Если мы хотим знать, какова вероятность того, что одновременно x и y находятся в соответствующих заданных отрезках, то нам нужно посчитать отношение темной площади (пересечения зеленой и синей областей) к площади всего квадрата: $p(X, Y) = \dfrac{(0.4 - 0.1) (0.7 - 0.5)}{(1 \cdot 1)} = 0.06$.

А теперь допустим мы хотим знать какова вероятность того, что y находится в интервале $[0.5, 0.7]$, если x уже находится в интервале $[0.1, 0.4]$. То есть фактически у нас есть фильтр и когда мы называем пары $(x, y)$, то мы сразу отбрасывает те пары, которые не удовлетворяют условию нахождения x в заданном интервале, а потом из отфильтрованных пар мы считаем те, для которых y удовлетворяет нашему условию и считаем вероятность как отношение количества пар, для которых y лежит в вышеупомянутом отрезке к общему количеству отфильтрованных пар (то есть для которых x лежит в отрезке $[0.1, 0.4]$). Мы можем записать эту вероятность как $p(Y|X)$. Очевидно, что эта вероятность равна отношению площади темной области (пересечение зеленой и синей областей) к площади синей области. Площадь темной области равна $(0.4 - 0.1)(0.7 - 0.5) = 0.06$, а площадь синей $(0.4 - 0.1) (1 - 0) = 0.3$, тогда их отношение равно $\dfrac{0.06}{0.3} = 0.2$. Другими словами, вероятность нахождения y на отрезке [0.5, 0.7] при том, что x уже принадлежит отрезку $[0.1, 0.4]$ равна $p(Y|X) = 0.2$.
Можно заметить, что с учетом всего вышесказанного и всех приведенных выше обозначений, мы можем написать следующее выражение
$p(Y|X) = \dfrac{p(X, Y)}{p(X)}$

Таким образом, получается, что условные вероятности, а следовательно, зависимые события сводятся к выбору нового вероятностного пространства. Говоря в терминах теории множеств, можно сказать, что мы выбираем некоторое подмножество и рассматриваем его как новое универсальное множество. В примере было рассмотрено множество: $[0,1]\times[0,1]$. Для вычисления условной вероятности мы меняем множество $[0,1]\times[0,1]$ на $[0.1,0.4]\times[0,1]$. И уже относительно него считаем все вероятности.

Теперь предположим, что у нас есть некоторое подмножество A \subset $[0,1]\times[0,1]$, для которого справедливо: $A \cap B = \emptyset $, где $B = [0.1,0.4]\times[0,1]$. Замечу, что последний пример удовлетворяет условию:

$P(A + B) = P(A) + P(B)$

В таком случае, видимо $P(AB) = P(A|B) = 0$. Но всегда ли это будет выполняться. Как это показать строго?

(Оффтоп)

Материал взят отсюда: https://habrahabr.ru/post/170545/

[ewert]

hedgehogues в сообщении #1222235 писал(а):

Могут ли не совместные события быть зависимыми? Если нет, то как это показать формально?

Вспомнить формальное определение независимости. Или, если не вспоминается, то прочитать в учебнике (но только не в том источнике).

[hedgehogues]

ewert в сообщении #1222237 писал(а):

hedgehogues в сообщении #1222235 писал(а):

Могут ли не совместные события быть зависимыми? Если нет, то как это показать формально?

Вспомнить формальное определение независимости. Или, если не вспоминается, то прочитать в учебнике (но только не в том источнике).

Чем Вам не нравится тот источник? Вполне доходчиво объяснено. Это воспринимается намного лучше. Разве суть не в понимании?

[Lia]

hedgehogues
Суть не в иллюзии понимания. Последуйте указанию, Вы же за этим пришли - за помощью.
Определение несовместности тоже заодно посмотрите корректное.
Определение, а не следствие из него.

[ShMaxG]

Было недавно. Гляньте еще тему на всякий случай: http://dxdy.ru/topic116386.html

[hedgehogues]

Lia в сообщении #1222246 писал(а):

hedgehogues
Суть не в иллюзии понимания. Последуйте указанию, Вы же за этим пришли - за помощью.
Определение несовместности тоже заодно посмотрите корректное.
Определение, а не следствие из него.

Так Вы думаете, что я не смотрел его? Если бы я его поглядел и понял, то ок. Без проблем. Но ясности в моей голове от его наличия не прибавилось. Что поменяется от того, что я перепишу его вот так:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - 2P(AB)$?

-- 05.06.2017, 11:57 --

ShMaxG в сообщении #1222247 писал(а):

Было недавно. Гляньте еще тему на всякий случай: http://dxdy.ru/topic116386.html

Спасибо Вам. Обязательно разберусь

[Xaositect]

hedgehogues в сообщении #1222249 писал(а):

$P(A + B) = P(A) + P(B) - 2P(AB)$?

Это тоже не определение несовместности.

[hedgehogues]

Xaositect в сообщении #1222251 писал(а):

hedgehogues в сообщении #1222249 писал(а):

$P(A + B) = P(A) + P(B) - 2P(AB)$?

Это тоже не определение несовместности.

Окей. События $\{A_i\}_{i=1}^n$ несовместны тогда и только тогда, когда они попарно не пересекаются.

[Xaositect]

Прекрасно. Значит, если $A, B$ несовместны, то $AB$ это что? и $P(AB)$, соответственно, чему будет равно?

А дальше определение независимости.

[ewert]

hedgehogues в сообщении #1222242 писал(а):

Чем Вам не нравится тот источник?

Как минимум тем, что там вообще ничего не говорится про зависимость/независимость. Там про формулу Байеса, которая, конечно, с зависимостью связана, но не непосредственно, и про эту связь там даже не упоминается. Кроме того, растягивать объяснение формулы Байеса с двух строк на две страницы не вполне уместно. Кроме того, там просто неаккуратное изложение. Навскиду:

Цитата:

На практике вероятность наступления события есть частота наступления этого события, то есть отношение количества наблюдений события к общему количеству наблюдений при большом (теоретически бесконечном) общем количестве наблюдений.

Это не "на практике". Это -- т.наз. "статистическое определение" вероятности (которое, конечно, никакое не определение, а стимул к введению понятия вероятности, но так уж исторически сложилась терминология).

Цитата:

Как нетрудно догадаться, вероятность этого события будет равна отношению длины отрезка [0.1, 0.4] к общей длине отрезка [0, 1]

Об этом догадаться не то что нетрудно, а невозможно. Поскольку это -- определение "равновозможности" точек.

Цитата:

Мы можем записать эту вероятность как p(Y|X).

О том, что это называется условной вероятностью, автор скромно умалчивает. Автор вообще очень скромен.

[Евгений Машеров]

Начнём с простейшего примера. Вы бросаете монету. Выпадает орёл или решка (вероятностью падения на ребро и унесения пролетавшей вороной пренебрегаем).
1. Эти события (О или Р) совместны?
2. Эти события зависимы?

[hedgehogues]

Евгений Машеров в сообщении #1222272 писал(а):

Начнём с простейшего примера. Вы бросаете монету. Выпадает орёл или решка (вероятностью падения на ребро и унесения пролетавшей вороной пренебрегаем).
1. Эти события (О или Р) совместны?
2. Эти события зависимы?

1. Нет
2. Нет

[Xaositect]

Почему?

[provincialka]

hedgehogues
"эти события зависимы? Нет"
Даже не используя определений. Я бросила монету и вам не показала. Какова вероятность, что это Решка?
Теперь я говорю вам: У меня выпал Орел. Какова вероятность, что это Решка? Изменилась ли она?

Замечание: конечно, если монета уже выпала, то все вероятности тривиальны, 0 или 1. Но вы представьте себе, что мы так развлекаемся долго-долго, много бросков.

[Евгений Машеров]

hedgehogues в сообщении #1222324 писал(а):

1. Нет
2. Нет

1+
2-

-- 05 июн 2017, 15:20 --

Можно нарисовать пример, не столь блистающий тривиальностью:
Вася военнообязанный, и призыв осенью. Вася желает поступить в институт, получив отсрочку от призыва. Событие А - Вася поступил. Событие В - Васю призвали (с вероятность p, поскольку у Васи может неожиданно плоскоступие проявиться, или он грыжей страдает,

(Оффтоп)

не переводя это слово на латынь

).
Те же два вопроса:
1. Совместны?
2. Независимы?