2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод определения количества решений диофантовых уравнений
Сообщение01.06.2017, 15:24 


23/02/12
1531
Пусть дано алгебраическое диофантово уравнение с целочисленными коэффициентами от $k$ - переменных $n$ -ого порядка:
$F_n(x_1,...,x_k)=0$. (1)

Требуется определить количество целых решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$, где $N$ - достаточно большое положительное число.

Так как значение $N$ - достаточно большое, то вероятность, что $i$- ая переменная $(1 \leq i \leq k)$ примет значение $x_i \geq 0$ равна $1/2$. Аналогично вероятность, что $x_i<0$ также равна $1/2$.

Тогда вероятность, что $m$ переменных из $k$ принимают неотрицательные значения равна:
$P(m)=C^k_m(1/2)^m(1/2)^{k-m}=(1/2)^k C^k_m$. (2)

В случае, если для каждого такого случая (2) известно количество решений уравнения (1) - $r_m(N)$, то среднее значение количества решений диофантового уравнения:
$M_k(N)=(1/2)^k \sum_{m=0}^{k} {C_k^m r_m(N)}$. (3)

В этом случае дисперсия значений количества решений диофантова уравнения равна:
$D_k(N)=(1/2)^k \sum_{m=0}^{k}C_k^mr_m^2(N)-(1/2)^{2k}[\sum_{m=0}^{k}C^k_m \cdot r_m(N)]^2$. (4)

Вопрос заключается в том, если отклонение от среднего значения (3) $\sigma_k(N)=\sqrt {D_K(N)}$ достаточно мало, то формулу (3) можно использовать для оценки количества целых решений диофантова уравнения (1)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group