Найти и проверить норму (2 задачи)

[maki]

Здравствуйте!

Пытаюсь разобраться в теме норм, сжимающихся отображений и метрических пространств в принципе.

Нам задали две задачи, не могли бы вы их решить и подробно расписать каким образом это сделали, а также какие из приемов можно использовать в решении других подобных задач, заранее спасибо!

Задача №1:
Проверить будет ли являться нормой в пространстве C[a,b] функция f(u)=|u(a)|

Задача №2:
Найти норму функционала F(u)=\int_{0}^{1}xu(x)dx в пространстве L2(0,1)

[Dan B-Yallay]

maki в сообщении #1219941 писал(а):

Пытаюсь разобраться в теме норм, сжимающихся отображений и метрических пространств в принципе.

Просьба решить за вас задачки не очень похожа на попытку разобраться. Есть какие-либо свои идеи?

[maki]

Dan B-Yallay в сообщении #1219944 писал(а):

maki в сообщении #1219941 писал(а):

Пытаюсь разобраться в теме норм, сжимающихся отображений и метрических пространств в принципе.

Просьба решить за вас задачки не очень похожа на попытку разобраться. Есть какие-либо свои идеи?

Честно говоря практически нет, я прочитал в некоторых источниках, что решается все легко - простой проверкой аксиом норм и полунорм. Но так как у меня не получается понять как нужно применять аксиомы в данных задачах, я встал в тупик считайте что в самом начале..

[Dan B-Yallay]

Тут не нужно применять аксиомы. Их нужно проверить.

[maki]

Dan B-Yallay в сообщении #1219946 писал(а):

Тут не нужно применять аксиомы. Их нужно проверить.

Каким образом?
Для начала я правильно понял что нужны именно эти аксиомы?
1) $||A||\geqslant0$, причем $||A||=0$ только при $A=0$
2) $||aA||=|a|\cdot||A||$, где а принадлежит R
3) $||A+B||\leqslant||A||+||B||$
4) $||AB||\leqslant||A||\cdot||B||$

[Dan B-Yallay]

Да, эти. Попробуйте подставить данные вам функции и проверьте, что всё выполняется. Если нет, тогда функция нормой быть не может

[Aritaborian]

maki, набирайте формулы с долларами по краям, так они будут лучше выглядеть. Сравните: $||aA||=|a|\cdot||A||$.

[maki]

Dan B-Yallay в сообщении #1219948 писал(а):

Да, эти. Попробуйте подставить данные вам функции и проверьте, что всё выполняется. Если нет, тогда функция нормой быть не может

Хорошо, с аксиомами определились, но как их подставить то в данную задачу чтобы проверить? Ведь надо проверить как то в пространстве, а в аксиомах о пространстве ни слова. И второе, вместо "А", "В" и "а" какие значения нужно брать из функции или пространства?
К примеру я не понимаю как $|u(a)|$ подставить ни в одну из аксиом...
Причем $||A||$ если я не ошибаюсь - оператор. Но что является в таком случае оператором в этой задаче?

[Dan B-Yallay]

maki в сообщении #1219951 писал(а):

К примеру я не понимаю как $|u(a)|$ подставить ни в одну из аксиом

1.Проверяем первую аксиому $\|A\| \geqslant 0$:

$$|u (a)|\geqslant 0 \ ??$$

Верно? Нет? Почему?

[maki]

Dan B-Yallay в сообщении #1219953 писал(а):

maki в сообщении #1219951 писал(а):

К примеру я не понимаю как $|u(a)|$ подставить ни в одну из аксиом

1.Проверяем первую аксиому:

$$|u (a)|\geqslant 0 \ ??$$

Верно? Нет? Почему?

Хмм, так.. Получается что верно, так как модуль не может быть отрицательным. Правда я думал что когда мы вносим в аксиому значения из задачи, то они должны быть в $||x||$ двойных эм.. скобках? Как минимум это меня уже путало.

[Dan B-Yallay]

maki в сообщении #1219954 писал(а):

Правда я думал что когда мы вносим в аксиому значения из задачи, то они должны быть в $||x||$ двойных эм.. скобках? Как минимум это меня уже путало

Потому, что надо пользоваться "более правильным" определением:

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Норма_(математика)

Считайте, что двойные палочки по бокам, это особое обозначение функции $p$.

[maki]

Dan B-Yallay в сообщении #1219955 писал(а):

maki в сообщении #1219954 писал(а):

Правда я думал что когда мы вносим в аксиому значения из задачи, то они должны быть в $||x||$ двойных эм.. скобках? Как минимум это меня уже путало

Потому, что надо пользоваться правильным определением:

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Норма_(математика)

Хорошо, пока понятно. Получается если $||A||\Leftrightarrow|u(a)|$, то во второй аксиоме
$||aA||=|a|\cdot||A||$ будет равно как: $|a\cdot(|u(a)|)|=|a|\cdot|u(a)|$ ?
Если да, то что подставляется вместо $a$ во второй аксиоме и вместо $B$ в третьей?

[Dan B-Yallay]

Обратите внимание, что у вас дано пространство $ C [a,b]$ следовательно буква $a$ занята, как обозначающая конец отрезка. Поэтому в аксиоме нормы для обозначения числового коэффициента надо использовать другую букву.

-- Пн май 29, 2017 19:26:02 --

Иначе пойдёт путаница.

[maki]

Dan B-Yallay в сообщении #1219959 писал(а):

Обратите внимание, что у вас дано пространство $ C [a,b]$ следовательно буква $a$ занята, как обозначающая конец отрезка. Поэтому в аксиоме нормы для обозначения числового коэффициента надо использовать другую букву.

-- Пн май 29, 2017 19:26:02 --

Иначе пойдёт путаница.

Тогда допустим что коэффициент будет - $k$.
В таком случае заместо него мы берем какое то число из пространства С? Но какое? Или же это неопределённое число?

[Dan B-Yallay]

Так, вертаемся к истокам. Что такое пространство $C [a,b]$?