Свёртка

[function]

Цитата:

Свёртка линейного оператора --- это след. Действительно, в силу линейности достаточно проверить это утверждение для разложимых операторов, т. е. операторов вида $x\otimes \alpha\, (x\in V,\, \alpha\in V^*)$. Оператор такого вида равен нулю на $n-1$--мерном подпространстве $ \operatorname{Ker} \alpha$ и действует как умножение на $\alpha(x)$ на факторпространстве $V/ \operatorname{Ker}\alpha$. Следовательно, его след равен $\alpha(x)$, что совпадает со свёрткой.

Непонятно, откуда здесь возникло $n-1$--мерное подпространство ядра, почему именно $n-1$--одномерное, и почему след равен $\alpha(x)$?

[iou]

Размерность образа равна единице, поскольку это ранг оператора, а наш оператор разложимый, поэтому факторпространство имеет единичную размерность, откуда и делается вывод о следе.

[function]

Мне всё ещё неясно. След --- сумма элементов главной диагонали матрицы оператора в некотором базисе. Как это связать с $\alpha(x)$?

[CptPwnage]

Ну очевидно что для тензора (оператора) $x \otimes \alpha$ свертка определена как $x^i \alpha_i$ в нотации Эйнштейна. Предлагается доказать что это выражение равно следу этого оператора, который действует по правилу $(x \otimes \alpha) v = \alpha(v) x$. Я бы просто сказал что в этом случае $(x \otimes \alpha) e_i = \alpha_i x$ из чего все следует.

[function]

CptPwnage в сообщении #1218677 писал(а):

Ну очевидно что для тензора (оператора) $x \otimes \alpha$ свертка определена как $x^i \alpha_i$ в нотации Эйнштейна.

Линейное отображение $T^p_q(V)\to T^{p-1}_{q-1}(V)$, при котором $x_1\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_1 \otimes\dots \otimes \alpha_q \mapsto \alpha_1(x_1)(x_2\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_2 \otimes\dots \otimes \alpha_q )$, называется свёрткой (по первым множителям). Мне интересно, как, исходя именно из этого определения, получается вывод о следе.

[CptPwnage]

function в сообщении #1218702 писал(а):

CptPwnage в сообщении #1218677 писал(а):

Ну очевидно что для тензора (оператора) $x \otimes \alpha$ свертка определена как $x^i \alpha_i$ в нотации Эйнштейна.

Линейное отображение $T^p_q(V)\to T^{p-1}_{q-1}(V)$, при котором $x_1\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_1 \otimes\dots \otimes \alpha_q \mapsto \alpha_1(x_1)(x_2\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_2 \otimes\dots \otimes \alpha_q )$, называется свёрткой (по первым множителям). Мне интересно, как, исходя именно из этого определения, получается вывод о следе.

Ну это то что я написал, но в координатах

[function]

CptPwnage, можно ли это без координат сделать?

[Xaositect]

Без координат след определяется как сумма собственных значений, и тогда для $\alpha\otimes x$ их будет $n - 1$ нулевых, и одно $\alpha(x)$, соответствующее собственному вектору $x$.

[vpb]

Во-первых, тут есть двусмысленность языка. Словосочетание "$n-1$-мерное подпространство ${\rm Ker\,}\alpha$" можно понимать или как (1) то, что рассматривается пространство ${\rm Ker\,}\alpha$, а в нем еще некоторое подпространство размерности $n-1$, или как (2) ${\rm Ker\,}\alpha$ --- это $n-1$-мерное пространство, являющееся подпространством в некотором бОльшем пространстве. Винберг имеет в виду вариант (2), а Вы, кажется, поняли как (1). Основное пространство $V$ имеет размерность $n$, а ${\rm Ker\,}\alpha$, являющееся ядром некоторой линейной функции, естественно, имеет размерность $n-1$.

Собственно про след. Разложимому тензору $x\otimes\alpha$ отвечает, по определению соответствия между пространствами $V\otimes V^\ast$ и $L(V)$, линейный оператор $\varphi:V\longrightarrow V$, действующий как $\varphi(v)=\alpha(v)x$. В пространстве $V$ можно выбрать базис $e_1,\ldots,e_n$ так, что $e_1,\ldots,e_{n-1}$ --- базис для ${\rm Ker\,}\alpha$, а $e_n$ удовлетворяет условию $\alpha(e_n)=1$. Пусть $x_1,\ldots,x_n$ --- коэффициенты в разложении вектора $x$ по этому базису. Тогда ясно, что ${\rm Tr}(\varphi)=x_n$ (поймите сами почему). С другой стороны, свертка равна $\alpha(x)=x_n$, то же самое. Что и требовалось доказать.

[function]

vpb,
спасибо! Разобрался.