На что похожа эта кривая?

[Rusit8800]

Эта кривая определена следующим образом:
Пусть дан треугольник $ABC$ и точки $\[{S_1} \in BC\]$,$\[{S_2} \in AB\]$ и $\[{S_3} \in AC\]$, причем

$$\[\frac{{B{S_1}}}{{C{S_1}}} = \frac{{{c^n}}}{{{b^n}}};\frac{{B{S_2}}}{{A{S_2}}} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}};\frac{{C{S_3}}}{{A{S_3}}} = \frac{{{a^n}}}{{{c^n}}}\]$$

где $\[n \in \mathbb{R}\]$.
Тогда,на основании теоремы Чевы, $\[A{S_1} \cap C{S_2} \cap B{S_3} = P\]$. ГМТ $P$ -это и есть эта кривая. Точный вид кривой я определить не смог, ибо не владею методами высшей математики. Сначала думал, что это кусок гиперболы, но это оказалось не так: каждые пять точек из ГМТ $P$ задают разные гиперболы. Из графиков я только увидел, что в случае правильного треугольника $ABC$ ГМТ $P$ - центр этого треугольника. Пользуясь ползунками в графической программе я также заметил, что при $\[n \to + \infty \]$, $\[P \to C\]$, а при $\[n \to - \infty \]$, $\[P \to A\]$.

[Rusit8800]

Это похоже на степенную функцию, за тем исключением, что основание степени - константа, показание степени - аргумент. Видимо задача не самая простая...

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1218519 писал(а):

похоже на степенную функцию, за тем исключением, что основание степени - константа, показание степени - аргумент.

Такие функции называются показательными; о них будут рассказывать в 10-м классе.

UPD. Я только насчёт процитированного. На что там оно на самом деле похоже, не вникал.

[rockclimber]

А что значит вопрос "на что похожа кривая"? Издалека похожа на кривую Безье 2-го порядка, но только издалека.
А если бы вы сделали буквы на ваших рисунках чуть крупнее ($S_1$, например, совсем плохо видно), было бы вообще замечательно.

[Rusit8800]

rockclimber в сообщении #1218526 писал(а):

А если бы вы сделали буквы на ваших рисунках чуть крупнее ($S_1$, например, совсем плохо видно), было бы вообще замечательно.

Если устроит качественный и неточный рисунок, то выглядит это так:


-- 24.05.2017, 15:46 --

Если что, $a,b,c$ - длины соответствующих сторон треугольника. На рисунке показан случай при $n=2$(в данном частном случае $P$ - точка Лемуана) . Если придавать $n$ все действительные значения, то точка $P$ заметёт вышепоказанную кривую.

[iifat]

Вы, как я понял, знакомы с барицентрическими координатами. Записать в них и перевести в декартовы не пробовали?

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218550 писал(а):

Вы, как я понял, знакомы с барицентрическими координатами. Записать в них и перевести в декартовы не пробовали?

Барицентрические координаты точки $P$ имеют вид $(a^n : b^n : c^n)$(я это не проверял, но для случаев $n=1$ и $n=2$(инцентр и точка Лемуана) это работает). Как переводить барицентрические координаты в декартовы я не знаю. Да и вообще это сильно зависит от того, как расположить оси координат и центр по отношению к базисному треугольнику. Пытался найти декартовы координаты точки $P$, зная отношения, в которых делятся стороны точками $S_1,S_2,S_3$,как дано по условию задачи, которое есть в начале топика
(и опять же, я не уверен что определения

$$\[\frac{{B{S_1}}}{{C{S_1}}} = \frac{{{c^n}}}{{{b^n}}};\frac{{B{S_2}}}{{A{S_2}}} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}};\frac{{C{S_3}}}{{A{S_3}}} = \frac{{{a^n}}}{{{c^n}}}\] \[A{S_1} \cap C{S_2} \cap B{S_3} = P\]$$

и

$$P=(a^n : b^n : c^n)$$

равносильны, так как не освоил барицентрические координаты на достаточном уровне, чтобы проверить, однако для биссектрисс и симмедиан эти определения равносильны и координаты точки $P$ совпадают с координатами инцентра и точки Лемуана соответственно).
Центр координат расположил так, чтобы он совпал с одной из вершин треугольника, а ось $Ox$ направил так, чтобы она содержала одну из сторон треугольника. В итоге получил сложное выражение $P(x,y)$. Точный вид $P(x,y)$ у меня, к сожалению, не сохранился, но, насколько я помню, координаты $x$ и $y$ представляли из себя дроби, в числителе и знаменателе которых была сумма показательных функций со степенями $n$ или $2n$. Если нужно точнее, могу расписать, правда придется потратить не мало времени на восстановление.

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1218552 писал(а):

Барицентрические координаты точки $P$ имеют вид $(a^n : b^n : c^n)$

Ну дык почитайте ещё раз, пока это не станет очевидным. Ей-богу, полезное чтиво. Ссылку не дам, помнится, в Кванте было, только номер не скажу. Чтиво стоящее, хотя б за доказательство теоремы Чевы.

Rusit8800 в сообщении #1218552 писал(а):

Как переводить барицентрические координаты в декартовы я не знаю. Да и вообще это сильно зависит от того, как расположить оси координат и центр по отношению к базисному треугольнику

Запросто ж. $\vec r = \sum\limits_i\alpha_i \vec{r_i}$ — и никакой зависимости от расположения системы координат!

Rusit8800 в сообщении #1218552 писал(а):

Если нужно точнее, могу расписать, правда придется потратить не мало времени на восстановление.

Ну, мне показалось, что это нужно вам, не? Если я ошибаюсь, не стоит трудиться — себе, буде приспичит, я и сам распишу.

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218555 писал(а):

Ну дык почитайте ещё раз

Что почитать?

iifat в сообщении #1218555 писал(а):

$\vec r = \sum\limits_i\alpha_i \vec{r_i}$

Формула знакомая, но все равно непонятно. Это случайно не те самые коэффициенты: $\sum\limits_i {{\alpha _i} = 1} $ ?

iifat в сообщении #1218555 писал(а):

Ну, мне показалось, что это нужно вам, не? Если я ошибаюсь, не стоит трудиться — себе, буде приспичит, я и сам распишу.

Просто не понятно, что даст перевод в декартовы координаты. Ведь полезнее получить формулу этой кривой именно в барицентрических координатах.

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1218558 писал(а):

Что почитать?

Про оные барицентрические ж.

Rusit8800 в сообщении #1218558 писал(а):

Это случайно не те самые коэффициенты

Ничего случайного. Они самые.

Rusit8800 в сообщении #1218558 писал(а):

Просто не понятно, что даст перевод в декартовы координаты

Может, и ничего. Может, и чего. Это как перевод на другой язык: позволяет подключить дополнительный слой ассоциаций. В данном случае — позволит подключить обширный аппарат матанализа. Результат, естественно, не гарантируется. Как и его отсутствие.

Rusit8800 в сообщении #1218558 писал(а):

Ведь полезнее получить формулу этой кривой именно в барицентрических координатах

В барицентрических вы ужё написали, хотя, кажется, и не осознали этого. Как понимаю, этого вам мало.

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218561 писал(а):

Про оные барицентрические ж.

Хм, в "Кванте" я вроде не видел.

iifat в сообщении #1218561 писал(а):

В барицентрических вы ужё написали, хотя, кажется, и не осознали этого. Как понимаю, этого вам мало.

Мало. Ведь это формула точки в плоскости треугольника, а не кривой, являющейся их

iifat в сообщении #1218561 писал(а):

Ничего случайного. Они самые.

ГМТ. А мне интересно узнать хотя-бы вид этой кривой.

iifat в сообщении #1218561 писал(а):

Ничего случайного. Они самые.

Но это все равно мне пока ни о чем не говорит. Потом обязательно с этим разберусь.

iifat в сообщении #1218561 писал(а):

В данном случае — позволит подключить обширный аппарат матанализа.

Мда, логично. Попробую посмотреть. Напишу попозже.

-- 24.05.2017, 19:15 --

(Оффтоп)

Кстати, iifat, к вам вопрос. Вы единственный, кто хорошо разбирается в барицентрических координатах на этом форуме? Может вы что-то знаете и про трилинейные координаты?

[iifat]

Rusit8800 в сообщении #1218577 писал(а):

единственный, кто хорошо разбирается

Уверяю вас, я не являюсь уникальным носителем какого бы то ни было знания.

Rusit8800 в сообщении #1218577 писал(а):

Может вы что-то знаете и про трилинейные координаты?

Ничего. Вот сейчас заглянул в Википедию — похоже, в сущности то же самое, не?

[Rusit8800]

iifat в сообщении #1218599 писал(а):

Ничего. Вот сейчас заглянул в Википедию — похоже, в сущности то же самое, не?

В сущности да.Это аналог барицентрических координат, их очень близкий "родственник". Они легко друг в друга переводятся, например барицентрические координаты инцентра $(a : b : c)$, а трилинейные $(1 : 1 : 1)$. По эффективности барицентрические координаты не хуже и не лучше трилинейных: например, при работе с изогональным сопряжением лучше работать с трилинейными координатами, а при работе с изотомическим сопряжением - барицентрические.

iifat в сообщении #1218599 писал(а):

Уверяю вас, я не являюсь уникальным носителем какого бы то ни было знания.

Просто вы первый человек на форуме, который ответил на вопрос, касающийся барицентрических координат.

[iifat]

Они знают. Просто по разным причинам скрывают

[Rusit8800]

Следуя советам iifat, решил посмотреть координаты точки $P$ в декартовых координатах.
Разместим вершины треугольника в координатной плоскости следующим образом:

$$A=(0,0), B=(k,l), C=(m,0)$$

Пользуясь тем, что

$$\[\frac{{B{S_2}}}{{A{S_2}}} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}};\frac{{C{S_3}}}{{A{S_3}}} = \frac{{{a^n}}}{{{c^n}}}\]$$

находим координаты точек $S_2,S_3$ (ибо с точкой $S_1$ будет неудобно работать, а результат не изменится):

$${S_2} = \left( {\frac{{k{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}},\frac{{l{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}} \right);{S_3} = \left( {\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}},0} \right)$$

Теперь последовательно найдем уравнения прямых $B{S_3}$ и $C{S_2}$ пользуясь формулой $\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0$:
1) $B{S_3}$

$$(l - 0)x + \left( {\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - k} \right)y + k \cdot 0 - \frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}} \cdot l = 0$$

$$lx + \left( {\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - k} \right)y - \frac{{ml{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}} = 0$$

2) $C{S_2}$

$$\left( {0 - \frac{{l{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}} \right)x + \left( {\frac{{k{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - m} \right)y + m \cdot \frac{{l{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - \frac{{k{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} \cdot 0 = 0$$

$$ - \frac{{l{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}x + \left( {\frac{{k{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - m} \right)y + \frac{{ml{b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} = 0$$

Вбивая в Maple такую

solve({l*x+(m*c^n/(a^n+b^n)-k)*y-ml*c^n/(a^n+c^n) = 0, -l*b^n*x/(a^n+b^n)+(k*b^n/(a^n+b^n)-m)*y+ml*b^n/(a^n+b^n) = 0}, {x, y})

систему, получим что-то немного запредельное:

$$x = \frac{{ml({c^{2n}}m{b^n} - {c^n}{a^{2n}}m - {c^n}{a^n}m{b^n} - {c^n}{b^{2n}}m - {a^{2n}}k{b^n} - {a^n}{b^{2n}}k)}}{{lm({c^{2n}}{b^n} - {c^n}{a^{2n}} - {c^n}{a^n}{b^n} - {c^n}{b^{2n}} - {a^{3n}} - 2{a^{2n}}{b^n} - {a^n}{b^{2n}})}},$$

$$y = - \frac{{{b^n}ml{a^n}({a^n} + {b^n})}}{{m({c^{2n}}{b^n} - {c^n}{a^{2n}} - {c^n}{a^n}{b^n} - {c^n}{b^{2n}} - {a^{3n}} - 2{a^{2n}}{b^n} - {a^n}{b^{2n}})}}$$

Приехали...

-- 25.05.2017, 16:00 --

Ну, можно вот так сократить:

$$x = \frac{{{c^{2n}}m{b^n} - {c^n}{a^{2n}}m - {c^n}{a^n}m{b^n} - {c^n}{b^{2n}}m - {a^{2n}}k{b^n} - {a^n}{b^{2n}}k}}{{{c^{2n}}{b^n} - {c^n}{a^{2n}} - {c^n}{a^n}{b^n} - {c^n}{b^{2n}} - {a^{3n}} - 2{a^{2n}}{b^n} - {a^n}{b^{2n}}}},$$

$$y = \frac{{{b^n}l{a^n}({a^n} + {b^n})}}{{{c^n}{a^{2n}} + {c^n}{a^n}{b^n} + {c^n}{b^{2n}} + {a^{3n}} + 2{a^{2n}}{b^n} + {a^n}{b^{2n}} - {c^{2n}}{b^n}}}$$

$a,b,c,k,l,m$ - константы, а $n$ - параметр, который задает кривую.
Как теперь функцию искать - непонятно.

-- 25.05.2017, 16:04 --

У меня кстати Maple почему-то не смог даже $ml$ сократить.