Сумма биномиальных коэффициентов и..вероятность

[M1ham]

Пусть $m,n$ натуральные числа.
Требуется вычислить:

$$ F(m,n) = \sum\limits_{i=0}^n\frac{\binom{m+i}{i}}{2^{m+i+1}}+ \sum\limits_{i=0}^m\frac{\binom{n+i}{i}}{2^{n+i+1}}. $$

После вычислений для конкретных значений, выдвигаем гипотезу:

$$F(m,n)=1,$$

для всех натуральных $m,n$.
Также можно заметить, что если $m=n$, то

$$ F(m,m)= \sum\limits_{i=0}^m\frac{\binom{m+i}{m}}{2^{m+i}}. $$

Числитель каждого слагаемого есть число $m$-подмножеств в $m+i$-множестве а знаменатель равен числу всех подмножеств $m+i$-множества. Возможно это поможет решить задачу без привлечения индукции и громоздких вычислений. Какие есть идеи господа?

[M1ham]

Товарищи, кому интересно глянуть на вариант решения через производящие функции, милости прошу
https://math.stackexchange.com/question ... 39_2278964

[DeBill]

Пусть на доске размера $(m+2)\times (n+2)$ в левом нижнем углу стоит фишка.
Фишку можно двигать - с равными вероятносями - направо или вверх (ну, а если выбора нет - на краю, то бишь - то токо туда... ). Спрашивается, с какой вероятностью за $(m+1)+(n+1)$ шагов фишка попадет в верхний правый угол?
С вероятностью 1, я полагаю.....

[M1ham]

DeBill в сообщении #1216202 писал(а):

Пусть на доске размера $(m+2)\times (n+2)$ в левом нижнем углу стоит фишка.
Фишку можно двигать - с равными вероятносями - направо или вверх (ну, а если выбора нет - на краю, то бишь - то токо туда... ). Спрашивается, с какой вероятностью за $(m+1)+(n+1)$ шагов фишка попадет в верхний правый угол?
С вероятностью 1, я полагаю.....

Интересный подход. Не могли бы поподробнее написать, просто не улавливается смысл числителей дробей при такой интерпретации...

[DeBill]

M1ham
Фишка рано или поздно попадет на край доски. Пусть - на правый, слелав до этого $i$ шагов вверх. Каким может быть $i$? В каку клетку мы пришли? Какой ход был последним? Сколько таких путей идет в эту клетку? Какова вероятность каждого из них?

[M1ham]

DeBill в сообщении #1216221 писал(а):

M1ham
Каким может быть $i$?

$i\in\{0,1,\ldots, n+1\}$ если доска $n+2 \ \times \ m+2$.

DeBill в сообщении #1216221 писал(а):

M1ham
В каку клетку мы пришли?

Мы пришли в клетку правого края поднятую на $i$.

DeBill в сообщении #1216221 писал(а):

M1ham
Какой ход был последним

2 варианта. Какую это играет роль?

DeBill в сообщении #1216221 писал(а):

M1ham
Сколько путей идет в эту клетку

Вроде столько: $\binom{m+1+i}{i}$

DeBill в сообщении #1216221 писал(а):

M1ham
Какова вероятность каждого из них?

$\frac{1}{2^{m+1+i}}$

[DeBill]

M1ham
Ну, под "клеткой" я имел в виду - ту , в которой мы очутились, впервые попав на край.
Так что $i$ не может быть равным $n+1$: в верхнюю угловую можно попасть только с крайней.

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

Мы пришли в клетку правого края поднятую на $i$.

Да.

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

2 варианта

Нет: в крайние правые можно (впервые) попасть только ходом направо

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

Вроде столько

Теперь это изменится соответственно (последний ход для всех ломаных, идущих в эту клетку, один и тот же)

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

$\frac{1}{2^{m+1+i}}$

Да

[M1ham]

DeBill в сообщении #1216233 писал(а):

M1ham
Ну, под "клеткой" я имел в виду - ту , в которой мы очутились, впервые попав на край.
Так что $i$ не может быть равным $n+1$: в верхнюю угловую можно попасть только с крайней.

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

Мы пришли в клетку правого края поднятую на $i$.

Да.

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

2 варианта

Нет: в крайние правые можно (впервые) попасть только ходом направо

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

Вроде столько

Теперь это изменится соответственно (последний ход для всех ломаных, идущих в эту клетку, один и тот же)

M1ham в сообщении #1216228 писал(а):

$\frac{1}{2^{m+1+i}}$

Да

Большое спасибо. Я все понял. То есть две суммы, это соответственно 2 ситуации: первая когда мы впервые попадем на правый край, а вторая на верхний.
Это решение более красивое, чем через производящие функции на Mathstackexchange. Более комбинаторно-вероятностое что-ли