2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи в универах
Сообщение18.04.2017, 18:05 
Аватара пользователя


07/01/15
596
Здравствуйте.

Начну с примеров.

Мы второй семестр осваиваем "высшую алгебру" $-$ смесь из элементарной линейной алгебры и абстрактной алгебры. Там мы немного копнули теорию групп. Так вот, когда мы изучали эту теорию, нам давали много задач на исследование абсолютно искусственных групп. Ну, грубо говоря, есть группа $\mathbb Z$ с каким-то там действием вроде $x\circ y = x + y + xy$, и надо исследовать его подгруппы, находить образующие, составлять таблицы Кэли и т.д. В процессе работы с задачниками, я узнал о существовании "классических групп малых размерностей". Это простенькие группы (вроде групп вращения, групп Диэдра, группы симметрий, группы подстановок), и они очень естественны, и работать с ними легко и приятно. Мне показалось, что если бы нам давали задачи по этим группам, то наши практические занятия были бы намного содержательней.

А вот пример из матанализа. Во втором семестре нам дают много задач на исследование поведения функций, заданных в виде интегралов (определенных, с переменными пределами). Порою встречаются очень "хитрые" интегралы. Но по книжкам я узнал про один очень простой и эффективный метод решения таких задач: надо разложить подынтегральную функцию в ряд, проинтегрировать его и оценить интеграл от остатка этого ряда. При таком подходе достаточно уметь интегрировать полиномы $-$ и все. Так как функции в учебных задачах почти всегда хорошие (бесконечно дифференцируемые), то этот метод превращает их всех в обычную рутину. Имхо, если бы вместо того, чтобы давать задачи указанного типа, нас пораньше познакомили бы с этим методом и сконцентрировались бы на более интересных вещах, например, на спецфунциях и на работу с функциями, которые неадекватно ведут себя в окрестности точки, например, быстро осциллируют, разрываются или еще там что-то вытворяют, то это было бы гораздо интереснее.

А вот сейчас я решил такую задачу (по алгебре мы дошли до темы "кольцо многочленов", там мы имеем дело с алгебраической замкнутостью комплексных чисел, и мы попутно затронули комплексные числа): найти $\cos{\frac \pi 5}.$ Мне пришлось возвести соответстующее комплексное число в пятую степень и, воспользовавшись формулой Муавра, получить многочлен пятой степени, найти его корни на маткаде и подогнать свое решение под полученный ответ. Эта задача ничего интересного из себя не представляет, кроме того, что в ответе получается золотое сечение. После решения этой задачи я не узнал ничего нового о комплексных числах. И таких задач в нашем курсе $-$ подавляющее большинство. А жаль, вместо такой рутины, можно было потратить семинар, скажем, на знакомство с рядами, состоящими из комплексных чисел, дать доказательство (строгое) формулы Эйлера.

Что я хотел показать этими примерами? То, что в университетах зачастую дают абсолютно рутинные, несодержательные, и притом технически сложные задачи, тогда как есть возможность на том же самом материале придумать море живых и интересных задач.

Как Вы думаете, оправдано ли наличие рутинных задач вообще? Почему их так много в университетах? Есть ли от них какая-нибудь польза?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение18.04.2017, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1176
SomePupil, я Вас понимаю.
Сам я однотипные рутинные задачи не люблю и на своих курсах их не предлагаю.
Но я преподаю на старших курсах, и не уверен: может быть, на первом и максимум втором курсе стоит такие задачи всё-таки давать. Чтобы некоторые не самые сильные студенты могли "набить руку".
Хотя, будь моя воля, я бы и там их количество сократил бы вдвое, а то и втрое. Но я не уверен, что на младших курсах это педагогически оправдано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение18.04.2017, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62073
SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
Это простенькие группы (вроде групп вращения, групп Диэдра, группы симметрий, группы подстановок)

О да!

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
Мне показалось, что если бы нам давали задачи по этим группам, то наши практические занятия были бы намного содержательней.

Кто вам мешает самому себе поназадавать задачки по этим группам и порешать их? https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups вам в дорогу.

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
А жаль, вместо такой рутины, можно было потратить семинар, скажем, на знакомство с рядами, состоящими из комплексных чисел

На это требуется несколько больше одного семинара.

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
Как Вы думаете, оправдано ли наличие рутинных задач вообще?.. Есть ли от них какая-нибудь польза?

Я вам вот что скажу. Почему вы сейчас ходите, и даже не задумываетесь об этом? Потому что в детстве выполнили серию рутинных задач "сделать шаг правой ногой", "сделать шаг левой ногой", "сделать шаг правой ногой"... "сделать шаг правой ногой со стула", "сделать шаг левой ногой на ступеньку", и так далее. Польза от них несомненна. Спортсмены точно так же выполняют многие другие рутинные задачи: в беге, плавании, ударах ногой по мячу и т. п.

Автоматизмов человеку нужно много. Нет никакого другого способа их выработать, кроме как многократно повторять простые вещи.

Конечно, интересно было бы потратить занятия в вузе на что-то интересное и разностороннее. Но тогда у студентов не выработается автоматизмов, которые им нужны. Студент - существо абсолютно ленивое, он даже из-под палки не работает. Можно ли ему поручить "вот научись оценивать интеграл через ряд, сам, а мы с тобой займёмся чем-нибудь другим"? Увы, нет.

-- 18.04.2017 20:03:28 --

По поводу курсов: на первых курсах нужно набрать автоматизмы, которые будут нужны на старших курсах. Но и на старших курсах нужно точно так же набрать автоматизмы, просто те, которые нужны уже вне вуза: в аспирантуре, в работе. Да и потом человек не перестаёт учиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение18.04.2017, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
Возможно, эти задачи не такие уж и рутинные, просто надо подходить к ним более творчески. И получать красивые концептуальные решения. Ваш подход к задаче вычисления косинуса удивил. Если вы решаете уравнение пятой степени на маткаде, в чем вообще тогда смысл задачи? В маткаде косинус и напрямую посчитать можно. И рутинные вычисления тоже нужны, но думаю не в таких количествах, как обычно предлагается. А потому все, что нерутинные вычисления мало кто может осилить. И смысл тогда давать задачи, которые 90 процентов студентов не в состоянии решить. Понимаете, через технические задачи люди обваыкаются с предметной областью и могут начинать решать более концептуальные задачи, требующие понимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение18.04.2017, 20:41 


09/10/15
797
San Jose, USA
А вы тренируйтесь.
В жизни большинство работы, это рутинные операции.
И потом есть достаточно прямая закономерность.
Чем больше вы решаете рутинных задач, тем меньше времени потом будет у вас тратиться на них в будущем. Вы дойдете до такого автоматизма, что ваш уровень рутинности другим покажется верхом мастерства. Попытайтесь например внести в рутинность элемент соревновательности (с кем нибудь или даже самим собой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение18.04.2017, 21:35 


19/05/10
3820
Россия
В принципе в решении большого числа рутинных задач ничего плохого нет, однако из-за низкой квалификации преподов и отсутствии контроля это становится вещью в себе. Преподаватель только свои проблемы решает: студенты заняты, он абсолютный авторитет (кто же еще может так быстро и ловко решать задачи), деканат вывешивает этого чувака на доску почета и рекомендует к избранию на следующий срок (тихонько иногда говоря: "Вы уж, Николай Иванович, слишком строго то с наших студентов не спрашивайте, они у нас все-таки техники (химики, не мехмат, гуманитарии)").
Только вот общество наше начинает тихо звереть от "этих умников", понимая, что его вроде как дурачат)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение19.04.2017, 00:12 
Заслуженный участник


11/05/08
30884
SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
То, что в университетах зачастую дают абсолютно рутинные, несодержательные, и притом технически сложные задачи,

Технически чересчур сложные -- давать, безусловно, вредно. Во всяком случае, для нематематиков, у которых всегда есть железяка и которые всегда могут её отпихнуться.

Но вот тут-то и загвоздка. Я вот сейчас проверяю работы первокурсников (как раз по интегралам; по линалу ситуация мягче, как ни странно, там студенты, как правило, честны почему-то). И где-то процентах в 5-10 случаев товарищи тупо копируют железяку, даже не пытаясь её обосновать и даже не сознавая, насколько их (порождённое железякой) безумное нагромождение значков выглядит нелепо. Ну я подобные решения, естественно, заворачиваю независимо от правильности ответа.

И ещё процентах в 30, что ли, есть подозрение, что товарищ воспользовался железякой, но изложил свои мысли всё же грамотно. Ну и слава аллаху. Что умеет излагать; значит, хоть сколько-то, да понимает.

Я это к чему. Что дрессировать студентов нужно, безусловно. Пусть учатся думать. Даже по нонешним цифровым временам.

Но -- без фанатизму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение19.04.2017, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12758
Москва
SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
найти $\cos{\frac \pi 5}.$
$\cos{\frac {2\pi}{5}}+\cos{\frac {3\pi}{5}}=0$.
Дальше пишется кубическое уравнение, угадывается один корень... Какие, в топку, Маткады? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение19.04.2017, 01:41 
Аватара пользователя


07/01/15
596
Доброе утро всем!

Brukvalub

Пусть $t=\cos \frac \pi5.$ Тогда $$\cos \frac {2\pi}5 = 2t^2-1,$$ $$\cos\frac {3\pi}5 = t^3 -3t(1-t^2).$$

Итого получаем:
$4t^3 + 2t^2 -3t -1 = (t+1)(4t^2 - 2t - 1) = 0.$ Отсюда ответ:

$t = \frac{1+\sqrt 5}{4}.$

-- 19.04.2017, 02:50 --

Padawan в сообщении #1210502 писал(а):
Ваш подход к задаче вычисления косинуса удивил.

Да, я как только утром встал и посмотрел на задачку, то сразу же понял, что надо каким-то образом понизить степень полинома. Странно, что эта идея не пришла ко мне вчера (проскочила, что ли?)

Munin в сообщении #1210497 писал(а):
Кто вам мешает самому себе поназадавать задачки по этим группам и порешать их?

К счастью, никто не помешал :)

-- 19.04.2017, 02:51 --

В общем, спасибо за ответы. Было интересно читать их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи в универах
Сообщение13.05.2017, 07:58 


12/05/07
302
г. Уфа
SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
Нам давали много задач на исследование абсолютно искусственных групп с каким-то там действием вроде $x\circ y = x + y + xy$.
Конкретно эта задача полезна тем, что ломает косность мышления. Можно изобретать необычные объекты или необычные действия с обычными объектами. Например, НОК (наименьшее общее кратное) можно воспринимать как сложение, а НОД (наибольший общий делитель), как умножение. Если ограничиваться в задачах матричным группами и группами перестановок, то такая косность мышления может развиться. Вспомните как долго человечество училось десятичной системе счисления. Знали ли Пифагор и Архимед десятичную систему счисления? Римляне (древние) пользовались свой крайне неудобной системой счёта, дошедшей до нас в виде римских цифр: I, II, III, IV, V, VI и т. д. Всё из-за косности мышления, традиционализма (почтения к традициям) и авторитаризма (почтения к авторитетам).

-- Сб май 13, 2017 10:40:40 --

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):
Мы попутно затронули комплексные числа: найти $\cos{\frac \pi 5}$. Мне пришлось возвести соответствующее комплексное число в пятую степень и, воспользовавшись формулой Муавра, получить многочлен пятой степени, найти его корни на Маткаде и подогнать свое решение под полученный ответ.
Brukvalub в сообщении #1210658 писал(а):
$\cos(\frac {2\pi}{5})+\cos(\frac {3\pi}{5})=0$.
Дальше пишется кубическое уравнение, угадывается один корень... Какие, в топку, Маткады?
Маткад - это не плохо. Это хорошо. Хотя Maple лучше (I $\heartsuit$ Maple). Вот возьмите Maple и найдите перебором несколько целых чисел $n$, для которых $\cos(\frac{2\pi}{n})$ выражается в виде рациональной комбинации (дроби со сложениями и умножениями в числителе и знаменателе)
  1. через целые числа и квадратные корни от целых чисел,
  2. через целые числа и кубические корни от целых чисел,
  3. через целые числа и какие-либо корни целой степени от целых чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group