Задачи в универах

[SomePupil]

Здравствуйте.

Начну с примеров.

Мы второй семестр осваиваем "высшую алгебру" $-$ смесь из элементарной линейной алгебры и абстрактной алгебры. Там мы немного копнули теорию групп. Так вот, когда мы изучали эту теорию, нам давали много задач на исследование абсолютно искусственных групп. Ну, грубо говоря, есть группа $\mathbb Z$ с каким-то там действием вроде $x\circ y = x + y + xy$, и надо исследовать его подгруппы, находить образующие, составлять таблицы Кэли и т.д. В процессе работы с задачниками, я узнал о существовании "классических групп малых размерностей". Это простенькие группы (вроде групп вращения, групп Диэдра, группы симметрий, группы подстановок), и они очень естественны, и работать с ними легко и приятно. Мне показалось, что если бы нам давали задачи по этим группам, то наши практические занятия были бы намного содержательней.

А вот пример из матанализа. Во втором семестре нам дают много задач на исследование поведения функций, заданных в виде интегралов (определенных, с переменными пределами). Порою встречаются очень "хитрые" интегралы. Но по книжкам я узнал про один очень простой и эффективный метод решения таких задач: надо разложить подынтегральную функцию в ряд, проинтегрировать его и оценить интеграл от остатка этого ряда. При таком подходе достаточно уметь интегрировать полиномы $-$ и все. Так как функции в учебных задачах почти всегда хорошие (бесконечно дифференцируемые), то этот метод превращает их всех в обычную рутину. Имхо, если бы вместо того, чтобы давать задачи указанного типа, нас пораньше познакомили бы с этим методом и сконцентрировались бы на более интересных вещах, например, на спецфунциях и на работу с функциями, которые неадекватно ведут себя в окрестности точки, например, быстро осциллируют, разрываются или еще там что-то вытворяют, то это было бы гораздо интереснее.

А вот сейчас я решил такую задачу (по алгебре мы дошли до темы "кольцо многочленов", там мы имеем дело с алгебраической замкнутостью комплексных чисел, и мы попутно затронули комплексные числа): найти $\cos{\frac \pi 5}.$ Мне пришлось возвести соответстующее комплексное число в пятую степень и, воспользовавшись формулой Муавра, получить многочлен пятой степени, найти его корни на маткаде и подогнать свое решение под полученный ответ. Эта задача ничего интересного из себя не представляет, кроме того, что в ответе получается золотое сечение. После решения этой задачи я не узнал ничего нового о комплексных числах. И таких задач в нашем курсе $-$ подавляющее большинство. А жаль, вместо такой рутины, можно было потратить семинар, скажем, на знакомство с рядами, состоящими из комплексных чисел, дать доказательство (строгое) формулы Эйлера.

Что я хотел показать этими примерами? То, что в университетах зачастую дают абсолютно рутинные, несодержательные, и притом технически сложные задачи, тогда как есть возможность на том же самом материале придумать море живых и интересных задач.

Как Вы думаете, оправдано ли наличие рутинных задач вообще? Почему их так много в университетах? Есть ли от них какая-нибудь польза?

[Mikhail_K]

SomePupil, я Вас понимаю.
Сам я однотипные рутинные задачи не люблю и на своих курсах их не предлагаю.
Но я преподаю на старших курсах, и не уверен: может быть, на первом и максимум втором курсе стоит такие задачи всё-таки давать. Чтобы некоторые не самые сильные студенты могли "набить руку".
Хотя, будь моя воля, я бы и там их количество сократил бы вдвое, а то и втрое. Но я не уверен, что на младших курсах это педагогически оправдано.

[Munin]

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

Это простенькие группы (вроде групп вращения, групп Диэдра, группы симметрий, группы подстановок)

О да!

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

Мне показалось, что если бы нам давали задачи по этим группам, то наши практические занятия были бы намного содержательней.

Кто вам мешает самому себе поназадавать задачки по этим группам и порешать их? https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups вам в дорогу.

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

А жаль, вместо такой рутины, можно было потратить семинар, скажем, на знакомство с рядами, состоящими из комплексных чисел

На это требуется несколько больше одного семинара.

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

Как Вы думаете, оправдано ли наличие рутинных задач вообще?.. Есть ли от них какая-нибудь польза?

Я вам вот что скажу. Почему вы сейчас ходите, и даже не задумываетесь об этом? Потому что в детстве выполнили серию рутинных задач "сделать шаг правой ногой", "сделать шаг левой ногой", "сделать шаг правой ногой"... "сделать шаг правой ногой со стула", "сделать шаг левой ногой на ступеньку", и так далее. Польза от них несомненна. Спортсмены точно так же выполняют многие другие рутинные задачи: в беге, плавании, ударах ногой по мячу и т. п.

Автоматизмов человеку нужно много. Нет никакого другого способа их выработать, кроме как многократно повторять простые вещи.

Конечно, интересно было бы потратить занятия в вузе на что-то интересное и разностороннее. Но тогда у студентов не выработается автоматизмов, которые им нужны. Студент - существо абсолютно ленивое, он даже из-под палки не работает. Можно ли ему поручить "вот научись оценивать интеграл через ряд, сам, а мы с тобой займёмся чем-нибудь другим"? Увы, нет.

-- 18.04.2017 20:03:28 --

По поводу курсов: на первых курсах нужно набрать автоматизмы, которые будут нужны на старших курсах. Но и на старших курсах нужно точно так же набрать автоматизмы, просто те, которые нужны уже вне вуза: в аспирантуре, в работе. Да и потом человек не перестаёт учиться.

[Padawan]

Возможно, эти задачи не такие уж и рутинные, просто надо подходить к ним более творчески. И получать красивые концептуальные решения. Ваш подход к задаче вычисления косинуса удивил. Если вы решаете уравнение пятой степени на маткаде, в чем вообще тогда смысл задачи? В маткаде косинус и напрямую посчитать можно. И рутинные вычисления тоже нужны, но думаю не в таких количествах, как обычно предлагается. А потому все, что нерутинные вычисления мало кто может осилить. И смысл тогда давать задачи, которые 90 процентов студентов не в состоянии решить. Понимаете, через технические задачи люди обваыкаются с предметной областью и могут начинать решать более концептуальные задачи, требующие понимания.

[fred1996]

А вы тренируйтесь.
В жизни большинство работы, это рутинные операции.
И потом есть достаточно прямая закономерность.
Чем больше вы решаете рутинных задач, тем меньше времени потом будет у вас тратиться на них в будущем. Вы дойдете до такого автоматизма, что ваш уровень рутинности другим покажется верхом мастерства. Попытайтесь например внести в рутинность элемент соревновательности (с кем нибудь или даже самим собой).

[mihailm]

В принципе в решении большого числа рутинных задач ничего плохого нет, однако из-за низкой квалификации преподов и отсутствии контроля это становится вещью в себе. Преподаватель только свои проблемы решает: студенты заняты, он абсолютный авторитет (кто же еще может так быстро и ловко решать задачи), деканат вывешивает этого чувака на доску почета и рекомендует к избранию на следующий срок (тихонько иногда говоря: "Вы уж, Николай Иванович, слишком строго то с наших студентов не спрашивайте, они у нас все-таки техники (химики, не мехмат, гуманитарии)").
Только вот общество наше начинает тихо звереть от "этих умников", понимая, что его вроде как дурачат)

[ewert]

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

То, что в университетах зачастую дают абсолютно рутинные, несодержательные, и притом технически сложные задачи,

Технически чересчур сложные -- давать, безусловно, вредно. Во всяком случае, для нематематиков, у которых всегда есть железяка и которые всегда могут её отпихнуться.

Но вот тут-то и загвоздка. Я вот сейчас проверяю работы первокурсников (как раз по интегралам; по линалу ситуация мягче, как ни странно, там студенты, как правило, честны почему-то). И где-то процентах в 5-10 случаев товарищи тупо копируют железяку, даже не пытаясь её обосновать и даже не сознавая, насколько их (порождённое железякой) безумное нагромождение значков выглядит нелепо. Ну я подобные решения, естественно, заворачиваю независимо от правильности ответа.

И ещё процентах в 30, что ли, есть подозрение, что товарищ воспользовался железякой, но изложил свои мысли всё же грамотно. Ну и слава аллаху. Что умеет излагать; значит, хоть сколько-то, да понимает.

Я это к чему. Что дрессировать студентов нужно, безусловно. Пусть учатся думать. Даже по нонешним цифровым временам.

Но -- без фанатизму.

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

найти $\cos{\frac \pi 5}.$

$\cos{\frac {2\pi}{5}}+\cos{\frac {3\pi}{5}}=0$.
Дальше пишется кубическое уравнение, угадывается один корень... Какие, в топку, Маткады?

[SomePupil]

Доброе утро всем!

Brukvalub

Пусть $t=\cos \frac \pi5.$ Тогда

$$\cos \frac {2\pi}5 = 2t^2-1,$$

$$\cos\frac {3\pi}5 = t^3 -3t(1-t^2).$$

Итого получаем:
$4t^3 + 2t^2 -3t -1 = (t+1)(4t^2 - 2t - 1) = 0.$ Отсюда ответ:

$t = \frac{1+\sqrt 5}{4}.$

-- 19.04.2017, 02:50 --

Padawan в сообщении #1210502 писал(а):

Ваш подход к задаче вычисления косинуса удивил.

Да, я как только утром встал и посмотрел на задачку, то сразу же понял, что надо каким-то образом понизить степень полинома. Странно, что эта идея не пришла ко мне вчера (проскочила, что ли?)

Munin в сообщении #1210497 писал(а):

Кто вам мешает самому себе поназадавать задачки по этим группам и порешать их?

К счастью, никто не помешал :)

-- 19.04.2017, 02:51 --

В общем, спасибо за ответы. Было интересно читать их.

[Ruslan_Sharipov]

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

Нам давали много задач на исследование абсолютно искусственных групп с каким-то там действием вроде $x\circ y = x + y + xy$.

Конкретно эта задача полезна тем, что ломает косность мышления. Можно изобретать необычные объекты или необычные действия с обычными объектами. Например, НОК (наименьшее общее кратное) можно воспринимать как сложение, а НОД (наибольший общий делитель), как умножение. Если ограничиваться в задачах матричным группами и группами перестановок, то такая косность мышления может развиться. Вспомните как долго человечество училось десятичной системе счисления. Знали ли Пифагор и Архимед десятичную систему счисления? Римляне (древние) пользовались свой крайне неудобной системой счёта, дошедшей до нас в виде римских цифр: I, II, III, IV, V, VI и т. д. Всё из-за косности мышления, традиционализма (почтения к традициям) и авторитаризма (почтения к авторитетам).

-- Сб май 13, 2017 10:40:40 --

SomePupil в сообщении #1210468 писал(а):

Мы попутно затронули комплексные числа: найти $\cos{\frac \pi 5}$. Мне пришлось возвести соответствующее комплексное число в пятую степень и, воспользовавшись формулой Муавра, получить многочлен пятой степени, найти его корни на Маткаде и подогнать свое решение под полученный ответ.

Brukvalub в сообщении #1210658 писал(а):

$\cos(\frac {2\pi}{5})+\cos(\frac {3\pi}{5})=0$.
Дальше пишется кубическое уравнение, угадывается один корень... Какие, в топку, Маткады?

Маткад - это не плохо. Это хорошо. Хотя Maple лучше (I $\heartsuit$ Maple). Вот возьмите Maple и найдите перебором несколько целых чисел $n$, для которых $\cos(\frac{2\pi}{n})$ выражается в виде рациональной комбинации (дроби со сложениями и умножениями в числителе и знаменателе)

1. через целые числа и квадратные корни от целых чисел,
2. через целые числа и кубические корни от целых чисел,
3. через целые числа и какие-либо корни целой степени от целых чисел.