Вроде бы несложная задача на формулу Байеса

[Лукомор]

mvr в сообщении #1212832 писал(а):

но вот не пойму, а зачем уточнять сорт второй конфеты?

А затем, что от этого зависит ответ на вопрос задачи.
Например:
Если вторая конфета будет "Ласточка", то первая конфета, независимо от того, какого она будет сорта, будет, с вероятностью 100%, из пакетика папы.
Разве нет?!

[Евгений Машеров]

mvr в сообщении #1212832 писал(а):

не пойму, а зачем уточнять сорт второй конфеты

В данной конкретной задаче эта информация не играет, потому что в обоих пакетиках по 15% конфет "Птичье молоко", но в общем случае сорт второй конфеты придётся учитывать.

[mvr]

И папа и мама подарили девочке на день рождения по пакетику конфет каждый. В пакетике папы 35% конфет «Белочка», 25% конфет «Мишка на Севере», 15% конфет «Каракумы», 15% конфет «Птичье молоко», и 10% конфет «Полёт». В пакетике мамы 17% конфет «Ласточка», 23% конфет «Белочка», 28% конфет «Мишка на Севере», 12% конфет «Каракумы», 15% конфет «Птичье молоко», и 5% конфет «Полёт». Девочка по очереди взяла по одной конфете из каждого пакетика. Первая конфета оказалось конфетой «Белочка», а вторая конфета – конфетой «Птичье молоко». Какова вероятность того, что первая конфета взята из пакетика папы?


Введем гипотезы $ H_1$ - первая конфета вынута из пакетика папы, $H_2$ - первая конфета вынута из пакетика мамы. $P({{H}_{1}})=P({{H}_{2}})=\frac{1}{2}$ Вероятность достать конфету «Белочка» равна $0,35*0,5 + 0,23*0,5 = 0,29.$ Вероятность того, что конфета «Белочка» взята из пакетика папы равна по теореме Байеса$,35*0,5/0.29 = 0,603$ (приближенно). В чем здесь ошибка. Где надо учитывать условие, что вторая конфета «Птичье молоко»?

[gris]

Вероятность какого же это события Вы посчитали и получили $0.29$?
У нас сказано, что первая конфета Б, а вторая ПМ. А у Вас какое?

[ewert]

mvr в сообщении #1214030 писал(а):

В чем здесь ошибка.

Ну как минимум в том (в цифры не вникал), что нигде не использовался тот факт, что белочка выпала именно первой. А ведь это -- дополнительная информация. Как и то, что выпало на втором шаге. И все эти информации следует учитывать. В рамках выдвинутых гипотез.

[mvr]

ewert в сообщении #1214044 писал(а):

mvr в сообщении #1214030 писал(а):

В чем здесь ошибка.

Ну как минимум в том (в цифры не вникал), что нигде не использовался тот факт, что белочка выпала именно первой. А ведь это -- дополнительная информация. Как и то, что выпало на втором шаге. И все эти информации следует учитывать. В рамках выдвинутых гипотез.

Я же потому и спрашиваю, как учитывать эту информацию?

-- 04.05.2017, 15:56 --

gris в сообщении #1214042 писал(а):

Вероятность какого же это события Вы посчитали и получили $0.29$?

Поф формуле полной вероятности - вероятность того, что конфета, которую мы достанем из случайно выбранного подарка окажется конфетой "Белочка".

[Евгений Машеров]

1. Формула полной вероятности тут нужна. Она в знаменателе. А в числителе - условные вероятности того, что мы вытащим именно указанные конфеты при условии, что пакет папин ими мамин.
2. Вообще говоря, надо считать вероятности того, что будут вытащены именно названные первая и вторая конфеты. Как произведение вероятностей (насколько правдоподобно, что дитя будет производить выборку с возвращением - не смею судить). Но в рамках условий данной задачи доли конфет "Птичье молоко" в обоих пакетах равны. То есть в формуле оказывается общий множитель, на который можно сократить до вычислений. Однако в общем случае такого везения не будет, и надёжнее посчитать по полной формуле, не экономя силы.

[mvr]

Цитата:

насколько правдоподобно, что дитя будет производить выборку с возвращением - не смею судить)

по смыслу задачи - девочка, видимо, съедает конфеты. Т.е. я думаю, что задачу нужно понимать в том смысле, что девочка в темноте берет конфету из одного, потом заведомо из другого и нужно найти вероятности при условии, что первая конфета окалась "Белочкой", а вторая "Птичьим молоком"?

Цитата:

2. Вообще говоря, надо считать вероятности того, что будут вытащены именно названные первая и вторая конфеты. Как произведение вероятностей (насколько правдоподобно, что дитя будет производить выборку с возвращением - не смею судить). Но в рамках условий данной задачи доли конфет "Птичье молоко" в обоих пакетах равны. То есть в формуле оказывается общий множитель, на который можно сократить до вычислений. Однако в общем случае такого везения не будет, и надёжнее посчитать по полной формуле, не экономя силы.

Хорошо, а если бы было

И папа и мама подарили девочке на день рождения по пакетику конфет каждый. В пакетике папы 35% конфет «Белочка», 25% конфет «Мишка на Севере», 15% конфет «Каракумы», 15% конфет «Птичье молоко», и 10% конфет «Полёт». В пакетике мамы 17% конфет «Ласточка», 23% конфет «Белочка», 28% конфет «Мишка на Севере», 12% конфет «Каракумы», 17% конфет «Птичье молоко», и 3% конфет «Полёт». Девочка по очереди взяла по одной конфете из каждого пакетика. Первая конфета оказалось конфетой «Белочка», а вторая конфета – конфетой «Птичье молоко». Какова вероятность того, что первая конфета взята из пакетика папы? (поменял числа, чтобы не было совпадения процентов конфет "Птичье молоко") в обоих пакетиках, как тогда решать?

[Евгений Машеров]

Извините, я уже изложил решение столь подробно, что могу рассчитывать на взыскание за "решение простой учебной задачи". И поэтому умолкаю, успев сказать, что "см. выше".

[mvr]

Как-то странно получается. Вроде бы все профи, а как дело дошло до конкретного результата, так в кусты. Хорошо, давайте тогда так, пусть все отписавшиеся в теме (Otta, alisa-lebovski , ewert , gris, Лукомор, Евгений Машеров) напишут ответ к задаче, в которой я немного заменил числа, (заодно проверим, сойдутся ли результаты ) а я уж тогда сам буду, имея точный ответ, до него доходить.
Числа я заменил для того, чтобы не думали, что мне только ответ нужен.

И папа и мама подарили девочке на день рождения по пакетику конфет каждый. В пакетике папы 30% конфет «Белочка», 25% конфет «Мишка на Севере», 20% конфет «Каракумы», 15% конфет «Птичье молоко», и 10% конфет «Полёт». В пакетике мамы 14% конфет «Ласточка», 26% конфет «Белочка», 28% конфет «Мишка на Севере», 12% конфет «Каракумы», 17% конфет «Птичье молоко», и 3% конфет «Полёт». Девочка по очереди взяла по одной конфете из каждого пакетика. Первая конфета оказалось конфетой «Белочка», а вторая конфета – конфетой «Птичье молоко». Какова вероятность того, что первая конфета взята из пакетика папы? (уточнение, будем считать что девочка достает конфеты в темноте, но знает, разумеется, что она брала конфеты из разных пакетов).

[gris]

Ваша задача слишком сладка для форума. Названия конфет занимают 78% объёма информации. Пока их читаешь, то забываешь обо всём. Добавьте ещё конфет!
Не сказано, кстати, как делятся конфеты: по штучкам или по весу? Если по штучкам, то они будут разного размера. То есть вероятность вытянуть большую конфету будет больше, чем маленькую, хотя и более вкусную. Да и общее количество будет кратно ста, иначе заданные проценты точно не указать. Ничего себе, пакетики!
Лучше задачу изложить в терминах урн и шаров. Тогда и Байес прояснится.
Ответ у Вас правильный. Но если это решение дать преподавателю, то он может потребовать разъяснений. В общем-то, они уже прозвучали.
Мой ответ в Вашем стиле к последнему варианту: $P=\dfrac {30\cdot 17}{30\cdot 17+15\cdot26}\approx 0.57$
Но я бы не стал такое писать на зачёте.

[mvr]

Чтобы не было слишком сладко и не слипались мысли.

Есть две урны- белая и черная. В обоих по 100 шаров. В белой урне 30 белых шаров, 25 черных, 20 зеленых, 15 красных и 10 синих. В черной урне 14 оранжевых, 26 белых, 28 черных, 12 зеленых, 17 красных и 3 синих. Некто в темноте вынул по одному шару из обоих урн. Оказалось что первый вынутый шар – белый, а второй вынутый шар – синий. Какова вероятность, что белый шар был вынут из белой урны?

[gris]

Можно и ещё подсократить:
Есть две урны- белая и черная. В обоих по 100 шаров. В белой урне 30 белых шаров, 10 синих. В черной урне 26 белых, 3 синих. Некто вынул по одному шару из каждой урны. Оказалось что первый вынутый шар – белый, а второй вынутый шар – синий. Какова вероятность, что белый шар был вынут из белой урны?
Мой ответ, но не решение: $P=\dfrac {30\cdot 3}{30\cdot 3+26\cdot10}\approx 0.26$

[mvr]

gris а зачем же в условии дано, что второй вынутый шар - синий? Вот что меня беспокоит. Это белый шум в задаче или это условие играет роль?

-- 04.05.2017, 20:41 --

Вот Евгений Машеров уверяет, что там еще какие-то множители есть.

[gris]

Переформулируем вопрос. Первый вынутый шар оказался белым. А второй даже и не вынимали. Вероятность того, что вынимали из белой урны равна $P=\dfrac {30}{30+26}\approx 0.54$
В два раза больше. Из-за того, что синий шар забросили.
Множители есть. Например, $1/2$. Но они сокращаются.
Самое простое — составить задачу так:
В белой урне $a_1,b_1,c_1$, в чёрной $a_2,b_2,c_2$ соответственно белых, красных и синих шаров при равном общем количестве $N$. Некто случайно вынул из случайной урны белый шар, а из другой синий. Какова вероятность того, что в первый раз была белая урна. Напишите формулы, сократите очевидное, а потом посмотрите, что может сокращаться при равенстве некоторых чисел.