Дискретное синус-преобразование Фурье от второй производной

[SergeiSX]

Здравствуйте! Никак не могу уяснить для себя вывод формулы дискретного синус-преобразования от второй производной решетчатой функции. Вторая производная представлена аппроксимацией по конечно - разностной схеме. Начну по порядку. Имеется дифференциальное уравнение для функции \upsilon \left( {x,z} \right): $ \frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} + 2 \cdot i \cdot k\frac{{\partial \upsilon }}{{\partial x}} = 0$ с граничными условиями \upsilon \left( {x,0} \right) = \upsilon \left( {x,{z_{\max }}} \right) = 0. Это уравнение дискретизируется по z. Причем вторая производная по z аппроксимируется по конечно - разностной схеме следующим образом:$ \frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} \sim \frac{{\upsilon \left( {x,z + \Delta z} \right) + \upsilon \left( {x,z - \Delta z} \right) - 2 \cdot \upsilon \left( {x,z} \right)}}{{\Delta {z^2}}}$. Если обозначить дискретный оператор взятия второй производной по z по конечно - разностной схеме как D^2, то, применяя его к последовательности значений исходной функции \upsilon, дискретизированной с шагом \Delta z, получим последовательность значений:
{w_1}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _2}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _1}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}
{w_j}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{j + 1}}\left( x \right) + {\upsilon _{j - 1}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _j}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}
{w_{L - 1}}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{L - 2}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _{L - 1}}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}
Таким образом дискретное представление дифференциального уравнения будет выглядеть так:
{D^2}\widetilde \upsilon \left( x \right) + 2 \cdot i \cdot k \cdot \frac{{\partial \widetilde \upsilon }}{{\partial x}} = 0
Далее необходимо применить к уравнению дискретное синус-преобразование \widetilde Wследующего вида:
{U_l} = \sqrt {\frac{2}{L}} \cdot \sum_{j = 1}^{L - 1} {{\upsilon _j} \cdot \sin \left( {\frac{{\pi \cdot j \cdot l}}{L}} \right)}
Никак не получается вывести данную формулу. В книге перед данной формулой сказано следующее:"Rearranging terms,we write the discrete sine transform of \widetilde W"
Как утверждается в книге, если применить данное преобразование к дискретизированной версии второй производной, то есть \widetilde W{D^2}\widetilde \upsilon, то результирующая последовательность значений будет удовлетворять следующему соотношению:
{W_l} = - 4 \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot l}}{{2 \cdot L}}} \right) \cdot {U_l}
где {U_l} результат дискретного синус-преобразования от исходных значений дискретизированной функции \widetilde \upsilon.
Я никак не смог вывести данной соотношение. В книге перед данной формулой сказано следующее: "Rearranging terms, we write the discrete sine transform \widetilde W of {D^2}\widetilde \upsilon as". И далее конечная формула. Насколько я понимаю данная фраза говорит о том что мы меняем местами оператор дифференцирования и оператор дискретного синус-преобразования. При этом получается примерно следующее:
{W_l} = \sum_{j = 1}^{L - 1} { - 4 \cdot {\upsilon _j} \cdot \sin (} \frac{{\pi \cdot j \cdot l}}{L}) \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot j}}{{2 \cdot L}}} \right)
Похоже я что - то недопонимаю. Или не замечаю чего - то очень простого. Буду рад любой подсказке и помощи. Заранее спасибо.

[SergeiSX]

Цитата:

Никак не получается вывести данную формулу. В книге перед данной формулой сказано следующее:"Rearranging terms,we write the discrete sine transform of \widetilde W"

Прошу прощения, данная фраза лишняя, ее не нужно принимать во внимание

[SergeiSX]

Провел численный эксперимент в Mathcad и вяснилось что если дискретизировать функцию $ f\left( x \right) = \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) $ в интервале $ [0..\pi ] $ то ни приведенная ни полученная мною формулы не подтверждаются. Окончательно не понимаю что происходит...

[DeBill]

SergeiSX в сообщении #1213593 писал(а):

При этом получается примерно следующее:

Примерно - не надо. Надо - точно.
Ошибка в Вашей формуле: нада $l$ вместо $j$ (видимо, из-за тригонометрии.
На всякий случай: есть такая формула
$\sin (x+a) + \sin (x-a) - 2\sin x = - 4\cdot \sin x \cdot \sin^2\frac{a}{2}$

SergeiSX в сообщении #1213865 писал(а):

формулы не подтверждаются.

И это странно: Должно быть...