Наивная теория множеств

[kernel1983]

Здравствуйте.

Требуется доказать утверждение: $A \cup B = \varnothing $ тогда и только тогда, когда $A = \varnothing$ и $B= \varnothing$.

Справа налево доказывается элементарно. Пусть правая часть эквивалентности истинна. Тогда $A \cup B= \varnothing \cup \varnothing = \varnothing$.

Попробуем доказать слева направо. Пусть левая часть эквивалентности истинна. Предположим, что правая при этом ложна. Если $A \not = \varnothing, \ B = \varnothing$, то $A \cup B= A \cup \varnothing = A \not = \varnothing$. Противоречие.
Если $A = \varnothing, \ B \not = \varnothing$, то противоречие получается аналогично.
Как получить противоречие, если $A \not = \varnothing, \ B \not = \varnothing$?

Спасибо.

[Xaositect]

По определению, $\varnothing$ есть множество, не содержащее элементов. Значит, для того, чтобы доказать, что $X \neq \varnothing$, достаточно предъявить элемент множества $X$.

[kernel1983]

Спасибо. Но мне не нужно доказывать, что $A \not= \varnothing, \ B \not= \varnothing$. Мне нужно из этого вывести $A \cup B \not= \varnothing$ и получить противоречие.
Хотя... Если $A$ и $B$ не пусты, то и их объединение не пусто. Вот и противоречие? Верно?

[Xaositect]

kernel1983 в сообщении #1211860 писал(а):

Если $A$ и $B$ не пусты, то и их объединение не пусто. Вот и противоречие? Верно?

Да. А объединение не пусто почему?

[Mikhail_K]

kernel1983 в сообщении #1211860 писал(а):

Спасибо. Но мне не нужно доказывать, что $A \not= \varnothing, \ B \not= \varnothing$. Мне нужно из этого вывести $A \cup B \not= \varnothing$ и получить противоречие.

Да. Примените определение непустоты к $A$. Выведите отсюда непустоту $A\cup B$, пользуясь тем же определением.

[kernel1983]

Оно не пусто вот почему. Объединением двух множеств является такое множество, элементами которого являются элементы одного из исходных множеств. А дизъюнкция истинна, если истинен один из её членов.

[Mikhail_K]

kernel1983 в сообщении #1211866 писал(а):

Оно не пусто вот почему. Объединением двух множеств является такое множество, элементами которого являются элементы одного из исходных множеств. А дизъюнкция истинна, если истинен один из её членов.

Сможете записать это только на языке формул, без единого слова?
Все инструкции для этого были даны выше.

[kernel1983]

Mikhail_K в сообщении #1211867 писал(а):

Сможете записать это только на языке формул, без единого слова?

В том-то и дело, что нет.

[Mikhail_K]

Давайте начнём.
$A\neq\varnothing$ $\Rightarrow$ $\exists x\in A$ $\Rightarrow$ ...

[Brukvalub]

kernel1983 в сообщении #1211866 писал(а):

Объединением двух множеств является такое множество, элементами которого являются элементы одного из исходных множеств.

Из такого "определения" объединения требуемое точно не доказать.

[kernel1983]

Mikhail_K в сообщении #1211877 писал(а):

Давайте начнём.
$A\neq\varnothing$ $\Rightarrow$ $\exists x\in A$ $\Rightarrow$ ...

Допустим, известна только логика высказываний.
И не обязательно от противного доказывать. Можно и напрямую. Но что-то до меня не доходит, как это сделать.

-- 23.04.2017, 21:58 --

kernel1983 в сообщении #1211866 писал(а):

Оно не пусто вот почему. Объединением двух множеств является такое множество, элементами которого являются элементы хотя бы одного из исходных множеств. А дизъюнкция истинна, если истинен один из её членов.

Вот это не очень похоже на нормальное доказательство.

[arseniiv]

kernel1983 в сообщении #1212099 писал(а):

Вот это не очень похоже на нормальное доказательство.

Можно написать это более длинно как «$x$ является элементом $A\cup B$ тогда и только тогда, когда он является элементом $A$ или [он является элементом] $B$», хотя проще будет записать то же самое в виде $x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B$.

kernel1983 в сообщении #1212099 писал(а):

Допустим, известна только логика высказываний.

Тогда не получится. А определениях пустого множества и объединения существенно используется первопорядковость языка теории множеств. В самом деле, это же предметные константа и бинарная операция, такого в языке высказываний просто нет.