Определение вещественного числа

[Eric1987]

0.(9) = 1 по определению вещественного числа.
Какие есть определения вещественного числа, какие теории вещественных чисел?
Пытался понять по материалам википедии, но как то сложно.

[al12345]

Для того, чтобы установить сходимость данной геометрической прогрессии к единице, никакие вещественные числа вообще не нужны, все решается не выходя из рациональных чисел.

[Eric1987]

Но ведь "сходимость к 1" не означает, что "строго равно 1".

[mihaild]

Есть три основных определения вещественных чисел - через фундаментальные последовательности, через бесконечные десятичные дроби и через сечения Дедекинда.
Последнее хорошо изложено, например, у Рудина в "Основах математического анализа" (первые два наверняка тоже много где есть, но навскидку не помню).

Возьмите любое из них (укажите, какое) и напишите, как в нем определяется равенство и само число $0.(9)$

[al12345]

"Сумма" бесконечного числа слагаемых не имеет никакого смысла, кроме как в смысле сходимости. Если нас такие "суммы" интересуют - приходится отождествлять сходимость и равенство.

И, опять, пока тут никакие вещественные числа не нужны, достаточно того, что нам повезло и фундаментальная последовательность счастливо сходится, не покидая рациональных чисел.

А если нам не повезет, например для дес. дроби 0,10100100010000...... - придется что-то придумывать и строить вещественные числа.

[Eric1987]

А где можно подробно почитать определения вещественных чисел через бесконечные десятичные дроби, желательно подробно и со строгой формализацией?

[al12345]

Не надо вам через десятичные - слишком тоскливо и непрактично.
Ищите через Дедекиндовы сечения или через фундаментальные последовательности - намного приятнее.

При этом заход через десятичные - прямое следствие и, в некотором роде, частный случай, захода через фунд. последовательности.

Но если очень хочется именно через десятичные - посмотрите Никольского, там дыряво, но для первого раза сойдет. Или Вейерштрасса :)

[kp9r4d]

Eric1987
Зорич "Математический анализ" том 1, вторая глава.

[Munin]

mihaild
А где показано, что они все три эквивалентны друг другу? Особенно для начинающего читателя.

[Brukvalub]

mihaild в сообщении #1210459 писал(а):

Есть три основных определения вещественных чисел - через фундаментальные последовательности, через бесконечные десятичные дроби и через сечения Дедекинда.

Все-таки, это лишь модели, а "единственно правильное" определение - аксиоматическое.

Munin в сообщении #1210499 писал(а):

mihaild
А где показано, что они все три эквивалентны друг другу? Особенно для начинающего читателя.

Нелепый вопрос. Доказано, что поле вещ. чисел своими аксиомами определено однозначно, с точностью до изоморфизма. В каждой из трех моделей проверяется выполнение всего набора аксиом, отсюда автоматически следует изоморфизм всех трех моделей. Разве это нужно отдельно доказывать?

[mihaild]

Munin, если начинающий читатель - ваш злейший враг, то можно ему выдать доказательство изоморфности всех полных архимедовых полей (есть в "Алгебре" ван дер Вардена, наверное есть и в чем-то более человеколюбивом).
Выписанного доказательства для этих случаях внезапно не нашел У Фихтенгольца и Зорича есть какие-то общие слова про десятичные дроби, но строгий результат даже не сформулирован.

Brukvalub в сообщении #1210525 писал(а):

Все-таки, это лишь модели, а "единственно правильное" определение - аксиоматическое.

Чем это "единственно правильное" (под ним же подразумевается "$\mathbb{R}$ - полное архимедово поле"?) определение лучше определения "$\mathbb{R}$ - множество сечений с понятно какими операциями"? Не считая того, что первое вообще задает предикат "быть вещественными числами", а не определяет множество.

(Оффтоп)

Ну и давайте тогда еще учтем, что упорядоченное поле не является ни полем, ни упорядоченным множеством, ни группой по сложению...

[kp9r4d]

mihaild в сообщении #1210532 писал(а):

У Фихтенгольца и Зорича есть какие-то общие слова про десятичные дроби, но строгий результат даже не сформулирован.

У Зорича это сформулировано в виде упражнений II.2.23 и II.2.24 и ещё немножко относящихся к ним II.2.13 II.2.14 II.2.21.

mihaild в сообщении #1210532 писал(а):

Чем это "единственно правильное" (под ним же подразумевается "$\mathbb{R}$ - полное архимедово поле"?) определение лучше определения "$\mathbb{R}$ - множество сечений с понятно какими операциями"? Не считая того, что первое вообще задает предикат "быть вещественными числами", а не определяет множество.

М-м-м, сейчас бы поспорить на тему synthetic vs point-set а то так-то на форуме прямо ни одной активной темы нету, в которой делалось бы то же самое.

[Munin]

mihaild в сообщении #1210532 писал(а):

Munin, если начинающий читатель - ваш злейший враг

mihaild в сообщении #1210532 писал(а):

Выписанного доказательства для этих случаях внезапно не нашел :shock:

Да, удивительно. Может, кто-нибудь ещё найдёт.

Лично мне кажется достаточно лёгким только шаг "фунд. последовательности $\Rightarrow$ беск. $n$-ичные дроби", поскольку каждая такая дробь является такой последовательностью.

kp9r4d в сообщении #1210534 писал(а):

М-м-м, сейчас бы поспорить на тему synthetic vs point-set а то так-то на форуме прямо ни одной активной темы нету, в которой делалось бы то же самое.

Может, всё-таки в отдельной теме?

[Brukvalub]

mihaild в сообщении #1210532 писал(а):

Чем это "единственно правильное" (под ним же подразумевается "$\mathbb{R}$ - полное архимедово поле"?)

На мой взгляд, оно тем лучше, что сразу концентрирует внимание учащегося именно на свойствах вещественных чисел, очищая это понятие от деталей, присущих конкретным моделям. Естественно, затем нужно доказать единственность и построить какую-либо из моделей.

[al12345]

Brukvalub в сообщении #1210551 писал(а):

mihaild в сообщении #1210532 писал(а):

Чем это "единственно правильное" (под ним же подразумевается "$\mathbb{R}$ - полное архимедово поле"?)

На мой взгляд, оно тем лучше, что сразу концентрирует внимание учащегося именно на свойствах вещественных чисел, очищая это понятие от деталей, присущих конкретным моделям. Естественно, затем нужно доказать единственность и построить какую-либо из моделей.

А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)