Координаты окружности в СК, отличной от 0xyz

[MaximkoGR]

Добрый день! Заранее извиняюсь, если задаю простые вопросы. Задача - перемещение пружины в пространстве.
Пытаюсь осуществить с помощью трех углов Эйлера.
Уравнение пружины:

$-2 \pi \leqslant t \leqslant -0.698$

$x = r \cos 5 t$

$y = r \sin 5 t$

$z = h r t$

В начале пружина направлена вдоль оси $Oz$ и все нормально.

Затем мне нужно направить ее вдоль наклонной оси $Oz_1$ - ее координаты(вектор) известны.
Я нахожу углы $\Psi$ и $\Theta$, а вот c третьим $\varphi$ проблемка.
Так как мало исходных данных - непонятно куда вращать.
Я хотел чтобы хотя бы выглядело реалистично, подбирать этот угол перебором, таким образом:
Получаю новые координаты пружины в системе координат $Oxyz$ с заданными углами $\Psi$, $\Theta$, $\varphi$
Нахожу проекцию пружины на плоскость $Ox_1y_1$ (получается после поворота на $\Psi$ и $\Theta$) в системе координат $Oxyz$
Перевожу координаты проекции в систему координат $Ox_1y_1z_1$. По полученным координатам смотрю, чтобы проекция была окружностью. Если это так - готово!
Застрял на переводе проекции из системы координат $Oxyz$ в систему координат $Ox_1y_1z_1$.
Вроде бы все делаю правильно, но координаты по $Oz_1$ получаются разные, а должны быть одинаковые - плоскость $Ox_1y_1$.
На рисунке красным $Ox_1y_1z_1$, зеленым $Oxyz$. Пружина растянута поэтому немного видоизменилась плюс неправильный $\varphi$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

MaximkoGR в сообщении #1207694 писал(а):

Я нахожу углы $\Psi$ и $\Theta$, а вот c третьим $\varphi$ проблемка.
Так как мало исходных данных - непонятно куда вращать.

Советую использовать «минимальное» вращение, которое эквивалентно одному повороту вокруг линии узлов на угол $\beta$ (обозначения как здесь). При каком $\gamma$ так будет?

[MaximkoGR]

svv в сообщении #1207750 писал(а):

MaximkoGR в сообщении #1207694 писал(а):

Я нахожу углы $\Psi$ и $\Theta$, а вот c третьим $\varphi$ проблемка.
Так как мало исходных данных - непонятно куда вращать.

Советую использовать «минимальное» вращение, которое эквивалентно одному повороту вокруг линии узлов на угол $\beta$ (обозначения как здесь). При каком $\gamma$ так будет?

Не совсем вас понимаю. $\gamma$ судя по их обозначениям как раз $\varphi$ у меня.
Но мы как раз не знаем положение новой $OX$ оси. Я предлагал выбрать этот угол так, чтобы проекция на новую плоскость $OXY$ была кругом.
Минимальный, в смысле по модулю, но с плюсом или с минусом? Но в таком случае мы же все равно не будем знать$\gamma$ ?
UPD: похоже проверки одной проекции на $OXY$ недостаточно, т.к. проекция получается окружность, а на плоскости
$OXZ$ и $OYZ$ проекции получаются все равно неправильные.

[svv]

Требуемое вращение в любом случае переводит ось $Oz$ в ось $OZ$. Минимальным же я назвал вращение вокруг оси, перпендикулярной $Oz$ и $OZ$. Это как раз линия узлов $ON$.

Почему «минимальное»? Представьте, что вращение непрерывное, тогда образ единичного вектора $\mathbf e_z$ с ростом угла $\beta$ перемещается к своему конечному значению $\mathbf e_Z$ кратчайшим путём, по дуге большого круга единичной сферы. Дуга эта лежит в плоскости $zOZ$. Другие векторы описывают дуги в плоскостях, параллельных $zOZ$ (или в самой $zOZ$, как частный случай).

Ясно, что при таком вращении угол $XON$ равен углу между $xON$, то есть (это то, что я хотел от Вас услышать) $\gamma=\alpha$.

[MaximkoGR]

Спасибо большое, вроде понял.
Т.е. точно определить где должна быть расположена новая $OX$ мы не можем и поэтому берем минимальный угол?

[svv]

Да, примерно так. Если про вращение (с центром $O$) известно только, что оно отображает вектор $\mathbf a$ в вектор $\mathbf b$ (ну, или точку $A$ на сфере в другую точку $B$), этим вращение ещё не определяется однозначно.

По теореме вращения Эйлера любое вращение можно реализовать одним поворотом вокруг некоторой оси на некоторый угол. Задание (направленной) оси $\vec{OP}$ и угла поворота $\beta$ однозначно определяет вращение. Поэтому я и говорю об оси вращения. Но в выборе оси есть некоторая свобода.

Пусть точки A и B лежат на сфере $r=R$, и $A$ имеет сферические координаты $(R, \theta, \varphi)$, а $B$ — координаты $(R, \theta, \varphi+\pi)$. (Можете представить, что сфера — это поверхность Земли, $A$ — это Улан-Батор, а $B$ — Оттава.) Требуется выбрать ось вращения так, чтобы поворот вокруг неё на некоторый угол отображал $A$ в $B$. Так вот, два крайних выбора:
«Наихудший»: ось вращения проходит через Северный и Южный полюс. При непрерывном увеличении угла поворота $\beta$ образ точки $A$ движется по параллели.
«Наилучший»: ось вращения проходит через экватор. При увеличении $\beta$ образ точки $A$ движется по меридиану через полюс, кратчайшим путём.

Представили?

[MaximkoGR]

svv в сообщении #1207953 писал(а):

Да, примерно так. Если про вращение (с центром $O$) известно только, что оно отображает вектор $\mathbf a$ в вектор $\mathbf b$ (ну, или точку $A$ на сфере в другую точку $B$), этим вращение ещё не определяется однозначно.

По теореме вращения Эйлера любое вращение можно реализовать одним поворотом вокруг некоторой оси на некоторый угол. Задание (направленной) оси $\vec{OP}$ и угла поворота $\beta$ однозначно определяет вращение. Поэтому я и говорю об оси вращения. Но в выборе оси есть некоторая свобода.

Пусть точки A и B лежат на сфере $r=R$, и $A$ имеет сферические координаты $(R, \theta, \varphi)$, а $B$ — координаты $(R, \theta, \varphi+\pi)$. (Можете представить, что сфера — это поверхность Земли, $A$ — это Улан-Батор, а $B$ — Оттава.) Требуется выбрать ось вращения так, чтобы поворот вокруг неё на некоторый угол отображал $A$ в $B$. Так вот, два крайних выбора:
«Наихудший»: ось вращения проходит через Северный и Южный полюс. При непрерывном увеличении угла поворота $\beta$ образ точки $A$ движется по параллели.
«Наилучший»: ось вращения проходит через экватор. При увеличении $\beta$ образ точки $A$ движется по меридиану через полюс, кратчайшим путём.

Представили?

Да, представил. Спасибо за разъяснения