Простые числа над полем комплексных

[WalkRigh]

Возник такой вопрос, ведь в кольце гауссовских чисел такие числа как $5, 13, 17...$ не являются простыми т.е раскладываются на нетривиальные множители, например $5=(2-i)(2+i)$. Они представляются в виде $a^2+b^2$.
А насчет чисел $3, 7, 11...$ не все понятно. Их нельзя представить в виде $a^2+b^2$, потому что если смотреть какие остатки по $\mod 4$ дают эти числа и разные комбинации сумм квадратов (чет+нечет;нечет+нечет;чет+чет). Пробовал еще смотреть например на разложение тройки
$3=(a+bi)(c+di)$ Тогда имеем систему.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &ac-bd=3& \\ &bc+ad=0& \\ \end{array} \right.$$

Она имеет хотя бы 8 решений. Но все эти решения дают нам тривиальное разложение чисел.
Как доказать, что числа $3, 7, 11...$ над полем комплексных чисел простые?

[Otta]

Что такое "простое число над полем комплексных чисел"? Приведите, пожалуйста, определение и пример.

[Xaositect]

Скорее всего, имеется в виду не "над полем комплексных чисел", а "в кольце гауссовых целых"

[WalkRigh]

Otta
Которое раскладывается только на тривиальные множители. Пример : $3,7,11..$
Тривиальные разложения, к примеру вот $3=1\cdot3$, $3=-1i\cdot(3i)$

[Xaositect]

А $3 = \sqrt 3 \cdot \sqrt 3$?

[Otta]

WalkRigh

(Оффтоп)

Вы там звездочками не балуйтесь, есть точечка: \cdot

[WalkRigh]

Otta
Xaositect
Простите, и правда в кольце гауссовских чисел, спасибо. Но вопрос все еще открыт

[mihaild]

Во-первых, есть явный критерий простоты.
Во-вторых, пусть $a = b \cdot c$, где $a, b, c$ - гауссовы целые. Что можно сказать о связи $\|a\|, \|b\|, \|c\|$ (берется обычная комплексная норма)? И простое следствие из этой связи: как связаны модуль действительной и мнимой частей $b$ или $c$ и $\|a\|$?

[Sonic86]

WalkRigh в сообщении #1206777 писал(а):

Как доказать, что числа $3, 7, 11...$ над полем комплексных чисел простые?

Если $p$ - целое и $p=(a+bi)(c+di)$, то на самом деле это разложение можно упростить: когда произведение двух комплексных чисел вещественное? А после ответа на этот вопрос очень легко ответить на исходный вопрос именно рассмотрением числа по модулю 4.
(и да - надо говорить не "над полем комплексных", а "над кольцом $\mathbb{Z}[i]$")

[WalkRigh]

Sonic86
Когда они комплексно сопряженные, ведь так?

[kotenok gav]

WalkRigh в сообщении #1206869 писал(а):

Когда они комплексно сопряженные, ведь так?

Нет. Произведение становится вещественным, когда $cb+ad=0$.

[Sonic86]

WalkRigh в сообщении #1206869 писал(а):

Когда они комплексно сопряженные, ведь так?

Угу, развейте эту мысль: как тогда выражается $c+di$ через $a+bi$?

kotenok gav в сообщении #1206873 писал(а):

WalkRigh в сообщении #1206869 писал(а):

Когда они комплексно сопряженные, ведь так?

Нет. Произведение становится вещественным, когда $cb+ad=0$.

Скорее даТ, чем нет.