Летающий волчок

[EUgeneUS]

amon
Прочитайте про Маглев не на русской, а на английской википедии, и найдите там упоминание теоремы Ирншоу.

amon в сообщении #1200671 писал(а):

В рассматриваемом случае есть поле тяготения, которое хоть и подчиняется уравнения Лапласа, но совсем другому, а из решений разных уравнений Лапласа я могу сгородить все, что угодно.

1. Чейта по-другому?
2. Не можете.

-- 15.03.2017, 19:38 --

Вот интересный подвес, широко известный, но может кто не знал мотор Мендосино.
В упорной точке сила реакции опоры может быть сколь угодно мала, но не ноль, иначе - неустойчивость.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1200683 писал(а):

2. Не можете.

Давайте ограничимся Лаплпсом. У нас есть тело, на которое действуют две силы, каждая из которых подчиняется уравнению Лапласа с некоторыми граничными условиями. Потенциалы $U$ и $V$ каждой из этих сил не могут, согласно принципу максимума, иметь минимумов и максимумов нигде, кроме как на границах. Однако сумма этих потенциалов имеет право не удовлетворять никаким граничным условиям, и спокойно иметь минимумы и максимумы. Пример. Возьмем шарик от настольного тенниса и пылесос, переключим пылесос на "выдувание" воздуха и опустим шарик в воздушную струю. Поскольку скорости небольшие, задача хорошо описывается динамикой несжимаемой жидкости, т.е. $\Delta p=0$ ($p$ - давление). Поток воздуха вокруг шарика создаст поле давлений, в котором шарик будет устойчив в плоскости, перпендикулярной направлению струи, и неустойчив вдоль струи, в полном соответствии с принципом максимума. Возьмем теперь гравитационное поле. В нем шарик находится в безразличном равновесии в перпендикулярной плоскости и неустойчив в направлении поля. Сложим эти поля так, что бы направление "неустойчивостей" было бы противоположным (направив струю вверх ;). Шарик повиснет, хотя оба поля Лапласовы. Тоже самое почти дословно происходит в магнитном поле, если туда поместить лягушку. Лягушка диамагнитна, и поперек поля устойчива. Вдоль поля поле ее выталкивает, а гравитация тянет вниз. Поэтому лягушка будет устойчиво висеть в достаточно сильном поле (привет А.К.Гейму).

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1200705 писал(а):

Давайте ограничимся Лаплпсом.

давайте

amon в сообщении #1200705 писал(а):

У нас есть тело, на которое действуют две силы, каждая из которых подчиняется уравнению Лапласа с некоторыми граничными условиями.

Ну и упремся в "граничные условия". То есть в какую-то механическую связь.

Пусть есть электрическое поле и гравитация. И есть пробный точечный заряд с ненулевой массой. Очевидно, отношение заряда к массе константа. А тогда можно написать общий потенциал для суперпозиции гравитационного и электрического поля. И дивергенция градиента будет ноль там, где нет зарядов или масс. А значит нет устойчивого положения там, где нет зарядов или масс.

Что не тривиально - это невозможность устойчивого равновесия для распределенной системы зарядов, связанной жесткими связями. Моих остаточных знаний доказать это не хватает. Но это доказано. А раз так, то обобщается и на магнитное поле, и его суперпозицию с электрическим и гравитационным. Очевидно для случая, когда заряды, магнитные моменты и массы - константы.

amon в сообщении #1200705 писал(а):

Лягушка диамагнитна, и поперек поля устойчива

В 80-х годах прошлого века читал книжку "700 конструкций юного радиолюбителя". Так вот там описывалась конструкция, когда левитирует сковородка, а в ней жарится яичница. Так что закидоны Гейма с лягушками мало впечатляют. Диамагнитная левитация (и левитация сверхпроводников, как частный случай) не может считаться статической левитацией, так как магнитный момент диамагнетика не константа, а зависит от поля.

[Dan B-Yallay]

Умозрительный аргумент в виде вопроса (возможно тупого) - к физикам. Рассмотрим фиксированный заряд $q$ и одноимённый пробный заряд $q'$ массой $m$. Если пробный заряд расположить строго над неподвижным и разрешить ему лишь двигаться вверх-вниз (в стеклянной трубке, например), то где-то будет точка устойчивого равновесия, где сила гравитации уравновешена кулоновской силой отталкивания. Теперь разрешим пробному заряду двигаться лишь в некоторой вертикальной плоскости. Тогда при смещении пробника влево он начнёт падать. См. верxний рисунок:

Вложение:

Qtn.png [ 34.9 Кб | Просмотров: 0 ]

Теперь расположим в этой же вертикальной плоскости второй заряд $q$. Неужели нельзя подобрать параметы так, что система будет в устойчивом равновесии, при ограничении подвижности пробника одной лишь указанной вертикальной плоскостью?

Если это возможно, то что нам мешает расположить 100500 зарядов по кругу (или вообще взять заряженное кольцо) и дать полную свободу пробному телу?

[EUgeneUS]

Dan B-Yallay в сообщении #1200714 писал(а):

Теперь расположим в этой же вертикальной плоскости второй заряд $q$. Неужели нельзя подобрать параметы так, что система будет в устойчивом равновесии, при ограничении подвижности пробника одной лишь указанной вертикальной плоскостью?

Нельзя, если все заряды находятся в этой же плоскости. Можно, если движение ограничено плоскостью, но заряды можно располагать вне её (если гравитирует не точка, а бесконечная поверхность, то это второй случай). Про подвижность в плоскости немного обсуждалось выше.

Dan B-Yallay в сообщении #1200714 писал(а):

Если это возможно, то что нам мешает расположить 100500 зарядов по кругу (или вообще взять заряженное кольцо) и дать полную свободу пробному телу?

Тело тут же воспользуется свободой и убежит. Ибо у Вас некорректный переход от двумерного случая к трехмерному.

[Dmitriy40]

Dan B-Yallay в сообщении #1200714 писал(а):

Неужели нельзя подобрать параметы так, что система будет в устойчивом равновесии, при ограничении подвижности пробника одной лишь указанной вертикальной плоскостью?

Если это возможно, то что нам мешает расположить 100500 зарядов по кругу (или вообще взять заряженное кольцо) и дать полную свободу пробному телу?

Угу, я тоже всё жду когда же пробный заряд подвесят над одинаковыми зарядами жестко закреплёнными в вершинах треугольника, ведь должна же над центром симметрии треугольника быть устойчивая точка ... Лишь подобрать соотношение зарядов, масс и размеров. Если не треугольника, то $n\ge6$ угольника, чтобы отталкивание от приближающихся зарядов превышало уменьшение отталкивания от удаляющихся при любом смещении пробного заряда. А считать как обычно лень ...

-- 15.03.2017, 21:15 --

И всё же, рассмотрим движение исключительно в вертикальной плоскости, в ней два одинаковых заряда, расположенных горизонтально. На срединном перпендикуляре между ними будет устойчивое положение для достаточно малого пробного заряда: вниз действует сила тяжести, влево-вверх и вправо-вверх - отталкивание от зарядов, векторная сумма равна нулю. Положение равновесия есть.
Вопрос в устойчивости. Предположим заряд смещается вправо-вниз строго по окружности на равном удалении от левого заряда, при этом сила от левого заряда остаётся постоянной, сила тяжести тоже постоянна, а вот отталкивание от правого заряда увеличивается (из-за уменьшения расстояния) - равнодествующая уже не равна нулю и направлена к положению равновесия. Влево-вниз аналогично. Вправо-вверх вдоль окружности потоянного радиуса от правого заряда, сила тяжести постоянна, отталкивание от правого постоянно, отталкивание от левого уменьшается - результирующая сила снова направлена к положению равновесия. При горизонтальном смещении пробного заряда вправо сила тяжести та же, отталкивание от левого заряда уменьшается, от правого увеличивается, равнодействующая снова к положению равновесия. При вертикальном смещении растёт или уменьшается суммарная сила отталкивания при постоянной силе тяжести - равнодействующая снова к положению равновесия. Во всех промежуточных случаях будет какая-то комбинация этих. Т.е. равновесие устойчиво. Что не так?
В трёхмерном случае кажется хватает и трёх зарядов в вершинах треугольника, ну или 6 или больше, главное решения явно есть.

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1200718 писал(а):

Нельзя, если все заряды находятся в этой же плоскости. Можно, если движение ограничено плоскостью, но заряды можно располагать вне её (если гравитирует не точка, а бесконечная поверхность, то это второй случай).

Я всё же привык считать. Пусть при вертикальном расположении одного заряда и пробника, расстояние равновеся равно $R$. Если нетрудно, укажите ошибки в следующих выкладках:

Вложение:

Pl.png [ 37.7 Кб | Просмотров: 0 ]

Все три заряда расположены в одной вертикальной плоскости. Нижние фиксированы, пробник может двигаться только в указанной плоскости. На первом рисунке вертикальная составляющая равнодействующей силы чуть больше, чем $\dfrac {Qq}{R^2}$ (коэффициентом $k$ опускаем). Во втором случае вертикальная равнодействующая равна $\dfrac{Qq}{5R^2}$. Очевиднo, что пробник должен или провалиться между зарядами, или остановиться в точке устойчивого равновесия ниже, чем высота $R$. Если пробник проваливается, ничто не мешает нам облегчить его или увеличить заряд(ы)

[EUgeneUS]

Dan B-Yallay в сообщении #1200733 писал(а):

Я всё же привык считать.

Там посчитайте. И увидите, что либо у Вас ямка, но ямка без дна; либо горбик, и пробник скатывается в бок - в зависимости от вертикальной координаты. Волшебство.

-- 15.03.2017, 22:19 --


смотрим на правый рисунок. Там где силовые линии сходятся к вертикальной оси - ямка без дна. Там где силовые линии начинают расходится будет горбик.

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1200751 писал(а):

Там посчитайте. И увидите, что либо у Вас ямка, но ямка без дна;

Что значит ямка "без дна"? Мне нетрудно облегчить пробник так, чтобы сила тяжести, действующая на него сила тяжести была $F=(\dfrac {Qq}{5R^2}-\varepsilon)$, где эпсилон настолько мало, что быстро скомпенсируется при поднятии пробника немного вверх, где кулоновская сила отталкивания тоже уменьшится на ту же величину эпсилон. Там будет равновесие. Любое малое горизонтальное перемещение пробника влево-вправо наталкивается на усиление кулоновских сил с той же стороны и возвращает пробник назад. А любые перемещения по вертикали вверх увеличивают потенциальную энергия пробника.

[fred1996]

Не, ну это известная задача на нахождения максимума силы для заряда, расположенного строго между двумя другими.
Там фиксирована плоскость передвижения пробного заряда.
Если же поместить в горизонтальной плоскости $N$ одинаковых зарядов равномеро по кругу, а над ними поместить пробный заряд в точке равновесия , то изменение потенциала зависит от направления отклонения по горизонтали. По $N$ направлениям он будет возрастать. Это в плоскостях вертикальных плоскостях, проходящих через пробный заряд и один из "на круге". А в плоскостях между ними он будет убывать. То есть там уже не просто седловина, а такая ромашковая седловина. Я не знаю, какие там в математике для этого существуют термины.
Но это все следствие того же Гаусса.

[EUgeneUS]

Dan B-Yallay в сообщении #1200756 писал(а):

Что значит ямка "без дна"?

"Ямка без дна" означает, что потенциальная яма есть, а дна у неё нет. При смещении пробника вниз сила, компенсирующая силу тяжести падает, и пробник улетает куда-то далеко вниз.

Dan B-Yallay в сообщении #1200756 писал(а):

эпсилон настолько мало, что быстро скомпенсируется при поднятии пробника вверх немного вверх.

И что будет в этом случае с поперечной устойчивостью?

[fred1996]

Dan B-Yallay в сообщении #1200756 писал(а):

эпсилон настолько мало, что быстро скомпенсируется при поднятии пробника вверх немного вверх.

Цитата:

И что будет в этом случае с поперечной устойчивостью?

Это стандартная седловина.
В одной плоскости потенциал возрастает ( устойчивое равновесие), а в перпендикулярной плоскости потенциал убывает ( неустойчивое равновесие)

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1200759 писал(а):

И что будет в этом случае с поперечной устойчивостью?

Я уже подправил предыдущий пост, с ответом на этот вопрос. Повторю:

Dan B-Yallay в сообщении #1200756 писал(а):

Любое малое горизонтальное перемещение пробника влево-вправо наталкивается на усиление кулоновских сил с той же стороны и возвращает пробник назад. А любые перемещения по вертикали вверх или вниз увеличивают потенциальную энергию пробника.

[Dmitriy40]

Dan B-Yallay
Интересны ещё и правая-левая граница устойчивости, где куловская сила переходит через вертикаль.

[Dan B-Yallay]

fred1996 в сообщении #1200758 писал(а):

То есть там уже не просто седловина, а такая ромашковая седловина.

Берём тонкое горизонтальное металлическое кольцо и заряжаем. Одноименно заряжаем пробник и помещаем над кольцом.

И ни при каких соотношения массы пробника и зарядов, в центре кольца не будет "ямки"?

Я попробовал посчитать - какой-то интергал-кракозябр вылез. Неохота c ним возиться Может неправильно задачу составляю?

-- Ср мар 15, 2017 13:51:27 --

Dmitriy40 в сообщении #1200768 писал(а):

Интересны ещё и правая-левая граница устойчивости, где куловская сила переходит через вертикаль

Равнодействующая... Ну да, очевидно, на этих вертикалях положение равновесия неустойчиво (тут как раз горбик) и находится явно выше, чем в центре.