Диофантово уравнение

[Retureal]

$6x^2+5xy-7x+y^2-3y-1=0$
Нет никаких идей как решать. Знаю что количество решений конечно, но как решать..

[Someone]

Retureal в сообщении #1198955 писал(а):

$6x^2+5xy-7x+y^2-3y-1=0$

Попробуйте разложить на множители (только вместо $-1$, может быть, другое число потребуется).

[Retureal]

Someone в сообщении #1198961 писал(а):

Retureal в сообщении #1198955 писал(а):

$6x^2+5xy-7x+y^2-3y-1=0$

Попробуйте разложить на множители (только вместо $-1$, может быть, другое число потребуется).

Весьма сложно разложить, я перед этим 1.5 дня именно этим и занимался :(

-- 11.03.2017, 04:37 --

Максимум на что я смог разложить это $5xy+6(x-\frac{7}{12})^2+(y-1.5)^2-\frac{127}{25}=0$, а решить при этом надо в целых числах.

[Otta]

Retureal
Вы можете вместо $-1$ записать $+c$ и подбирать эту константу наиболее удачной, решая уравнение как квадратное.

[ex-math]

Раскладывается легко. Напишите две скобки, в каждой икс, игрек и единица. Потом смотрите на уравнение и подбирайте коэффициенты. Скажем, у нас игрек квадрат, значит при игреках в обеих скобках поставим единицы и т.д.

[wrest]

Retureal в сообщении #1198955 писал(а):

Нет никаких идей как решать. Знаю что количество решений конечно, но как решать..

Если идей совсем нет и на множители не раскладывается, то попробуйте решать как квадратное относительно неизвестного $x$ (или $y$).

То есть
$ax^2+bx+c=0$
$a=6;b=5y-7;c=y^2-3y-1$
$D=b^2-4ac$
и так далее.

[Retureal]

wrest в сообщении #1199102 писал(а):

Retureal в сообщении #1198955 писал(а):

Нет никаких идей как решать. Знаю что количество решений конечно, но как решать..

Если идей совсем нет и на множители не раскладывается, то попробуйте решать как квадратное относительно неизвестного $x$ (или $y$).

То есть
$ax^2+bx+c=0$
$a=6;b=5y-7;c=y^2-3y-1$
$D=b^2-4ac$
и так далее.

Так я тоже пробовал, там не очень красивый дискреминант получается

[ewert]

Квадратичная часть $6x^2+5xy+y^2$ раскладывается очень легко и на очень симпатичные линейные сомножители. Потом сумма двух слагаемых первой степени представляется как сумма тех сомножителей, умноженных на некоторые коэффициенты (которые даже и угадываются опять же легко). Потом всё вместе оказывается (1-м сомножителем + константа) на (2-й сомножитель + константа) + константа.

Потом тупо перебор множителей последней константы.

[kalin]

$y=\frac 12 (3-5x\pm \sqrt{x^2-2x+13})$
$x^2-2x+13=n^2$
$x=1\pm\sqrt{n^2-12}$
Решения только такие:
$n=\pm 4 \, ; \quad x=-1$
$n=\pm 4 \, ; \quad x=3$
Дальше, думаю, ясно.

[wrest]

Retureal в сообщении #1199128 писал(а):

Так я тоже пробовал, там не очень красивый дискреминант получается

А что вам до красоты? У $\sqr{a^2-2a+13}=b^2$ целых решений прямо скажем немного и вас интересуют только те где $b>0$...

[ex-math]

Retureal
Вы издеваетесь что ли? Я разложил за минуту простым подбором коэффициентов.

-- 11.03.2017, 19:32 --

Вот и ewert так же делал.

[ewert]

ex-math в сообщении #1199198 писал(а):

Вот и ewert так же делал.

Я не совсем подбором (да и Вы, судя по всему, тоже). Это стандартный и довольно естественный приём. Вот если бы квадратичная часть на хорошие множители разложить не удалось -- тогда да, пришлось бы гадать на ещё какой гуще. А так -- шаблон, притом регулярный.

[Someone]

Retureal в сообщении #1198992 писал(а):

Максимум на что я смог разложить это $5xy+6(x-\frac{7}{12})^2+(y-1.5)^2-\frac{127}{25}=0$

И это Вы называете "разложением на множители"?

Вам уже надавали кучу советов, как разложить на множители, и, по-моему, уже говорили, что константу надо подбирать. В чём проблема?
Ну хорошо, попробуйте разложить на множители хотя бы $6x^2+5xy+y^2$. Получатся два множителя. В каждый добавьте неизвестное постоянное слагаемое (ну, типа, если получилось $(8x+3y)(92x-61y)$, то вместо того напишите $(8x+3y+\alpha)(92x-61y+\beta)$) и подберите эти слагаемые так, чтобы после раскрытия скобок получилось $$6x^2+5xy-7x+y^2-3y+\alpha\beta$.

-- Сб мар 11, 2017 20:08:23 --

Да и Вы же аналогичное уравнение уже решали:

Retureal в сообщении #1198521 писал(а):

Спасибо, все решилось так просто :)

Только немного попроще.

[ewert]

Someone в сообщении #1199218 писал(а):

подберите эти слагаемые так, чтобы после раскрытия скобок получилось

Не "подберите", а "решите систему уравнений" для соотв. линейной комбинации. Если разложение на множители квадратичной части привело к удачному выражению, то дальнейшие действия -- уже сугубо технические.

[Someone]

ewert в сообщении #1199223 писал(а):

Не "подберите", а "решите систему уравнений" для соотв. линейной комбинации.

Ну, в частности, иногда простейшим способом "подобрать" может быть "решить систему линейных уравнений".