2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 комбинаторные тождества
Сообщение20.05.2008, 02:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Докажите, что для всяких целых неотрицательных $n$ справедливо тождество:

Тождество 1:
$$\sum_{k=0}^{2n} {n\choose k} {4n-2k\choose 2n-k} (-3)^k = \sum_{k=0}^{\lfloor 2n/3\rfloor} {n\choose k}{n\choose 2n-3k}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.06.2008, 05:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Тождество 2:
$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n\choose k} \left[ {n\choose k} { 2n+1-2k\choose n+2} + {n\choose k+1} {2n-2k\choose n+2}\right] = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n\choose 2k} {2k\choose k} {n+k\choose k+1} 2^{n-1-2k}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.12.2008, 10:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Докажите, что для всяких целых неотрицательных $m,n$ справедливо

Тождество 3:
$${}_3F_2(-m,-n,m+n; 1, 1; 1) = \frac{m^2+n^2+mn}{(m+n)^2}\binom{m+n}{m}^2.$$

(см. тут)

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение21.06.2010, 06:18 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Докажите, что для всех натуральных $n$ справедливо

Тождество 4:
$$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}^2 H_k = \binom{2n}{n}(2H_n-H_{2n}),$$
где $H_m$ - гармонические числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение22.06.2010, 12:31 


02/11/08
1172
Правая часть тождества 3 есть в этом топике http://dxdy.ru/topic17192.html - а что такое стоит в левой части?

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение22.06.2010, 16:48 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Yu_K в сообщении #333726 писал(а):
Правая часть тождества 3 есть в этом топике topic17192.html - а что такое стоит в левой части?

Да, ноги у Тождества 3 растут из той самой задачи. В левой части тождества стоит так называемая гипергеометрическая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение23.06.2010, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
maxal в сообщении #333354 писал(а):
Тождество 4:

А можно получить небольшую подсказку? Я пробовал и пределы менять и суммирование по частям -- ничего не помогает.
P.S. Остальные тождества уже очень стары, может опубликуете решения? Интересно бы было посмотреть :D

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение23.06.2010, 23:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
caxap
Подсказка для 4-го:
$$H_k = \int_0^1 \frac{1-x^k}{1-x}\,dx$$
Полезно также вспомнить доказательство тождества:
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$$
и попробовать его скомбинировать с вышеприведённым интегралом.

Полное решение доступно по ссылке.

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение28.06.2010, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Оффтоп)

maxal, а Вами предполагается вообще опубликовать решения, если их никто не решит? Например первые 3 тождества уже 2 года висят.

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение29.06.2010, 00:17 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
caxap в сообщении #335830 писал(а):
maxal, а Вами предполагается вообще опубликовать решения, если их никто не решит? Например первые 3 тождества уже 2 года висят.

Вообще-то я с первого раза вопросы понимаю. Хотел на досуге поискать свои доказательства (доказывать заново нет времени), но раз уж вы такой нетерпеливый - то вот вам вместо доказательств подсказка: вычислите значения выражений для несколький последовательных значений $n$ и найдите по ним соответствующие последовательности в OEIS - там должна быть полезная информация.

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение23.05.2016, 05:35 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Тождество 5.
$$
\sum_{k=1}^{n} (-1)^k{n\choose k}{n+k\choose n}(H_{n+k}-H_n)=(-1)^nH_n.
$$

(источник)

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение20.02.2017, 17:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Тождество 6.
$$\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}k}=\sum_{k=1}^n\frac1{k 2^{n-k}}.$$

(источник)

 Профиль  
                  
 
 Re: комбинаторные тождества
Сообщение09.03.2017, 06:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5136
Тождество 7.
$$\sum_{k=0}^{n/2} (-3)^{-k}\binom{n+k}{k}\binom{2n+1-k}{n+1+k}=3^n.$$

(источник)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: gris


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group