Установить взаимно однозначное соответствие

[ss-.-]

Установить взаимно однозначное соответствие $\varphi : X \to Y$.

$X = \left\lbrace (x, y)\in\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leqslant 1 \right\rbrace$
$Y = \mathbb{R}^2 $

Есть мысль насчёт того, что можно построить отображение
$\varphi : [0;2\pi) \to \mathbb{R}^2$
с помощью функции
$\varphi(x) = (\cos x,\sin x)$,
но пока не знаю как.

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Нужна идея.
С биекцией знаком, но с подобным отображением не знаю как поступить.
Какова в целом схема отображения полуинтервала на плоскость $\mathbb{R}^2$ ?

[iifat]

Хм. Если б знак был строго меньше, можно было б отобразить открытый круг в открытую же полусферу, поставить её на плоскость и центральной проекцией из центра сферы отобразить на плоскость. В общем, необходимо проявить изощрённую (извращённую?) изобретательность.

[SomePupil]

Тангенс отображает $\left(-\frac\pi2; \frac\pi2\right)$ на $\mathbb R.$ Так что надо танцевать по тангенсоиде.

[bot]

SomePupil в сообщении #1196172 писал(а):

Так что надо танцевать по тангенсоиде

Непрерывно танцевать не получится. Так что

iifat в сообщении #1196169 писал(а):

необходимо проявить изощрённую (извращённую?) изобретательность

Ну, скажем, для начала осуществить биекцию между отрезком и интервалом.

[ss-.-]

Могу рискнуть построить биекцию $\varphi : [0;2\pi) \to \mathbb{C}$.

[bot]

ss-.- в сообщении #1196181 писал(а):

Но тогда встаёт вопрос отображения $\mathbb{C}$ на $\mathbb{R}^2$

А зачем ему вставать, если сразу ложиться?

[demolishka]

ss-.-, умеете строить биекцию между отрезком и полуинтервалом? Та же самая идея работает и для открытого и замкнутого круга. А про открытый круг Вам уже сказали.

[SomePupil]

bot в сообщении #1196179 писал(а):

Непрерывно танцевать не получится.

$X\sim [0;1]\times [0;2\pi)\sim\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)^2.$
Последнее выражение $-$ центр танцпола в квадрате :)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Однако, уже страница. Давно пора сделать хоть что-нибудь.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.