Вращающий момент

[StaticZero]

Пусть есть приводящая колёсная пара, скажем, поезда, который разгоняется. Если он делает это без проскальзывания колёс, то верно ли, что для этого необходимо и достаточно, чтобы момент трения покоя (=радиус колеса × сила трения покоя) компенсировал вращающий момент от двигателя?

Моё рассуждение слишком какое-то наивное: если колесо стоит на малом элементе $\mathrm dl$, то условие отсутствия проскальзывания эквивалентно покою этого элемента в системе отсчёта Земли, которое заключается в равенстве нулю сил, действующих на этот элемент.

Меня так заклинило на этом месте, что я не могу продолжить решать свою задачу...

[fred1996]

Ваш маленький элемент является составной частью колеса.
Поэтому задача ставится не по отношению к маленькому элементу, а по отношению к всему колесу.
То есть вы правильно начали рассуждение, но затем зачем-то сползли к элементу.
Обычно в физике принято решать задачи на разном уровне абстрагирования.
Когда мы только начинаем учить физику, нас учат законам Ньютона применительно к материальным точкам, что позволяет решать простейшие задачи.
Ваши колеса - это уже не простейшие задачи. Они относятся к разделу вращение твердого тела. Здесь мы должны применять уже уравнения движения для вращения. То есть пользоваться моментами сил, моментами инерции, угловыми ускорениями.
В вашей задаче инерция самих колес достаточно мала по сравнению с инерцией самого локомотива, поэтому в первом приближении мы действительно можем приравнять момент, создаваемый двигателем моменту силы статического трения. Они просто компенсируют друг друга. А про меленький элемент забудьте. Вы же не решаете задачу о динамической деформации колеса, а считаете его просто абсолютно жестким твердым телом.
Нарисуйте колесо. Обозначие ось вращения и нарисуйте две силы, действующие на колесо - силу от привода к двигателю и силу трения.

[StaticZero]

fred1996 в сообщении #1187045 писал(а):

Нарисуйте колесо. Обозначие ось вращения и нарисуйте две силы, действующие на колесо - силу от привода к двигателю и силу трения.

Угу. Как бы мне так получить количественное соотношение между моментами, я пока так и не понял, к сожалению.

[wrest]

StaticZero в сообщении #1187039 писал(а):

Если он делает это без проскальзывания колёс, то верно ли, что для этого необходимо и достаточно, чтобы момент трения покоя (=радиус колеса × сила трения покоя) компенсировал вращающий момент от двигателя?

В целом - да, но надо аккуратно разобраться с терминами. Проскальзывание здесь имеет отношение к силе трения скольжения, а не силе трения качения. То есть надо брать силу трения покоя материала колеса по материалу дороги. Крутящий момент в разных местах может быть разный -- на валу двигателя он один, после коробки передач (или другого редуктора) он уже другой. Максимальный крутящий момент на валу колесной пары (т.е. на валу жестко соединенным с колесом) чтобы не было проскальзывания будет равен $M_{max}=F_TR$ где справа первое это сила трения покоя материала колеса по материалу дороги, второе -- радиус колеса. Конечно, если все остальное идеальное (колеса и вал невесомые, трение качения ноль, на колесах нет тормозов и т.п.)

[Metford]

Я, возможно, чего-то не понял... Но если

StaticZero в сообщении #1187039 писал(а):

есть приводящая колёсная пара, скажем, поезда, который разгоняется

то почему моменты равны? В уравнении динамики вращательного движения сказано, что сумма моментов относительно оси определяется угловое ускорение. А отсутствие проскальзывания даёт чисто кинематическую связь углового и линейного ускорений...

[Erleker]

Metford Масса колеса на ускорение пренебрежимо мала (по сравнению с силами, которые сравнимы с массой поезда на ускорение)

[Metford]

Так ведь тогда у колёс углового ускорения не будет - откуда линейное-то ускорение возьмётся... Непоследовательно это.

[Erleker]

Metford в сообщении #1187080 писал(а):

Так ведь тогда у колёс углового ускорения не будет - откуда линейное-то ускорение возьмётся... Непоследовательно это.

Вообще-то они равны $rdw/dt=a$ (когда не прокручивается).Речь о том, что у колес масса $m$ маленькая и поэтому $1/2mr^2dw/dt\approx0$

[Mihaylo]

StaticZero в сообщении #1187039 писал(а):

верно ли, что для этого необходимо и достаточно, чтобы момент трения покоя (=радиус колеса × сила трения покоя) компенсировал вращающий момент от двигателя?

Небольшое терминологическое уточнение: сила трения покоя - это такая сила трения, которая действует при отсутствии движения (скольжения), т.е. при $\upsilon = 0$. С другой стороны, из первого закона Ньютона следует, что $\upsilon = 0$ только в том случае, когда силы скомпенсированы. А теперь заново перечитайте Ваш вопрос (который я процитировал)... Видите? Сила трения покоя по определению компенсирует остальные силы, при этом важно: модуль силы трения покоя и ее направление зависит от результирующей остальных сил, действующих на тело.
Есть еще сила трения скольжения - это сила трения, которая действует при $\upsilon \ne 0$. Сила трения скольжения обычно постоянна по модулю и направлена против вектора скорости $\upsilon$ (не против результирующей остальных сил как в случае силы трения покоя).

Теперь стало понятно?..

[Metford]

Erleker в сообщении #1187088 писал(а):

Вообще-то они равны $rdw/dt=a$ (когда не прокручивается).

А где я говорил, что они не равны?
Я прекрасно понял, что Вы сказали. Мне это категорически не понравилось (и не нравится). Почему - уже сказал. Всё. Ушёл.

P.S. Не помню, чтобы угловую скорость обозначали $w$.

[Erleker]

(Оффтоп)

Metford Тогда простите пожалуйста, если не так понял вас. Я же считаю, что равны и указал, почему это так ("непоследовательность" тут из серии $0/0=a$, а не $0$ ).

Metford в сообщении #1187094 писал(а):

Не помню, чтобы угловую скорость обозначали $w$.

Иногда мне просто лень писать греческие буквы.Какая разница,
$\omega$ или $w$ ? Не думал, что кто-то на это обратит внимание.

[StaticZero]

Metford в сообщении #1187075 писал(а):

А отсутствие проскальзывания даёт чисто кинематическую связь углового и линейного ускорений...

А динамической связи в этом случае разве нет?

На наклонной плоскости, например, тело покоится, если $\mu > \tg \alpha$. А тут нет такого же, что-то типа "колесо проскальзывает, если $M > f(\mu)$?"

[Erleker]

Ну, сила трения не может быть больше $mg \mu$ (масса поезда)(пока колесо не скользит (внизу $v=0$), сила трения - любая меньшая величина).То есть $M<mgr\mu$.
А Metford имел ввиду, что, зная, что колесо не скользит, мы знаем, как ускорение поезда выражается через угловое ускорение колеса, и что если равно 0 одно, то и другого тоже нет.

[Metford]

Erleker в сообщении #1187128 писал(а):

А динамической связи в этом случае разве нет?

Отсутствия проскальзывания не гарантирует, что сила трения покоя достигла своего максимального значения, которое пропорционально реакции опоры. Поэтому наоборот: из условия отсутствия проскальзывания бывает возможно вывести величину силы трения.

StaticZero в сообщении #1187125 писал(а):

На наклонной плоскости, например, тело покоится, если $\mu > \tg \alpha$.

Фокус в том, что колесо-то не покоится. (Поэтому таких задач в школе и не обсуждают.)

[Erleker]

Metford в сообщении #1187129 писал(а):

Фокус в том, что колесо-то не покоится. (Поэтому таких задач в школе и не обсуждают.)

Покоится.Нижняя точка колеса имеет скорость нуль.И кстати обсуждают.