Задача с симетричными векторами.

[KacKot]

Здравствуйте, нужна помошь в решении небольшой задачи. Собственно мне важно узнать не ответ, а скорей понять принцип решения.

Даны две точки $A(20;15)$ и $B(-2;13)$ нужно найти координаты точки $S$, симетричной отностиельно $B$ и $A$. То есть $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AS}$.
Как я начал решать.
Так как $S$ неизвестно то её координаты это $S(x;y)$.
Сначала находим координаты $\overrightarrow{BA}$, то есть

$$\overrightarrow{BA}=(20-(-2);15-13)=(22;2)$$

далее

$$\overrightarrow{AS}=(x-20;y-15)$$

И теперь у меня вопрос можно ли $\overrightarrow{AS}$ перенести через равно и решать как обычное уравнение:

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AS}=0$$

Если да то верно ли что:

$$\overrightarrow{BA}(22;2)-\overrightarrow{AS}(x-20;y-15)=0$$

Из этого следует что:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &22-x-20=0& \\ &2-y-15=0& \\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{rcl} &x=2& \\ &y=-13& \\ \end{array} \right.$$

Тогда $S(2;-13)$.
Правильный ли был ход моих рассуждений и ответ?

[Xaositect]

Идея правильная, ответ неправильный. Запутались со знаками при составлении системы.

[Karan]

Запишите формулы поаккуратнее. Знаки доллара должны обрамлять формулу целиком, а не отдельные части. Формулы типа $A(20; 15)$ и уравнения тоже оформите.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[KacKot]

Xaositect в сообщении #1185284 писал(а):

Идея правильная, ответ неправильный. Запутались со знаками при составлении системы.

В последней системе?
Если в ней тогда в голову только такой вариант приходит.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &22-x+20=0& \\ &2-y+15=0& \\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{rcl} &x=-42& \\ &y=-17& \\ \end{array} \right.$$

Тогда $S(-42;-17)$?

[Xaositect]

Теперь система правильно составлена, но при решении опять запутались со знаками.

[KacKot]

Да точно 42 и 17 ведь.

[Munin]

KacKot в сообщении #1185283 писал(а):

нужно найти координаты точки $S$, симетричной отностиельно $B$ и $A$. То есть $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AS}$.

Я бы назвал это так: "точка $S,$ симметричная к $B$ относительно $A$".

[iifat]

KacKot в сообщении #1185283 писал(а):

И теперь у меня вопрос можно ли $\overrightarrow{AS}$ перенести через равно и решать как обычное уравнение:

Пусть поздно, но таки добавлю, коли уж вас интересует принцип. Странен мне этот вопрос. Есть два, в общем-то, варианта ответа.
Можно прикинуть, откуда вообще эта мысль перенести всё влево? Из опыта решения уравнений в действительных числах? Какие свойства действительных чисел позволяют это сделать? Выполняются ли эти свойства для векторов?
Наконец, можно плюнуть и просто записать уравнения как есть:

$$\left\{\begin{array}{rcl}22&=&x-20\\2&=&y-15\end{array}\right.$$

и решать уже в действительных числах. Заметив, кстати говоря, что получится, если в обоих уравнениях перенести всё влево и получив тем самым ответ на первый вопрос.

[KacKot]

iifat в сообщении #1185332 писал(а):

Какие свойства действительных чисел позволяют это сделать? Выполняются ли эти свойства для векторов?

$\alpha+0=\alpha \alpha+(-\alpha)=0 \overrightarrow{\alpha}+0=\overrightarrow{\alpha} \overrightarrow{\alpha}+(-\overrightarrow{\alpha})=0$

Я не был уверен потому что у вектора два числа координат, а ноль всего один, или его можно представить как вектор с координатами $(0;0)$ ?

-- 16 янв 2017 23:26 --

Munin в сообщении #1185327 писал(а):

KacKot в сообщении #1185283 писал(а):

нужно найти координаты точки $S$, симетричной отностиельно $B$ и $A$. То есть $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AS}$.

Я бы назвал это так: "точка $S,$ симметричная к $B$ относительно $A$".

Спасибо именно так и называется, просто условия задачи я прочитал на французском. Поэтому не смог подобрать точную формулировку.

[Xaositect]

KacKot в сообщении #1185338 писал(а):

$\alpha+0=\alpha$
$\alpha+(-\alpha)=0$
$\overrightarrow{\alpha}+0=\overrightarrow{\alpha}$
$\overrightarrow{\alpha}+(-\overrightarrow{\alpha})=0$

Тот $0$, который в первых двух равенствах - это не тот $0$, который в последних двух. Откуда Вы эти равенства взяли и не написано ли там где-нибудь рядом, что такое $0$?

[KacKot]

to Xaositect да просто забил в гугле фразу свойство векторов. Но как я теперь понимаю, после того как начал в это вникать, ноль это не ноль, а вектор с нулевым базисом? Или я ошибаюсь?

[iifat]

KacKot в сообщении #1185344 писал(а):

вектор с нулевым базисом

Не вектор с нулевым базисом, а вектор с нулевыми компонентами.

[Munin]

Ещё он часто называется нулевым вектором.

Если он называется просто нулём, то либо жаргонно, либо в абстрактном смысле: нулём чего-то или нулём где-то (нулём в множестве векторов). В том смысле, что есть много разных абстрактных систем со своими операциями, и если какой-то элемент такой системы - в каждой системе свой! - ведёт себя похоже на число нуль, то и называется оно нулём. Обычно это одно из таких свойств:
- $a\oplus 0=a,\quad a\oplus({\ominus}a)=0$ - нейтральный элемент;
- $a\otimes 0=0$ - элемент-поглотитель.
Подробнее это написано в алгебре (учебники часто называются "общая алгебра").