Умножение квадратных матриц

[nic v]

Задача: Пусть $X$ и$Y$ - квадратные матрицы одного размера, причем $X\cdot Y\cdot X\cdot Y=0$ Верно ли утверждение, что $Y\cdot X\cdot Y\cdot X=0$?
Мое решение: Квадратные матрицы размера n образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения. в этом кольце существуют делители нуля, являющиеся вырожденными матрицами (детерминант равен 0). Рассмотрим $X\cdot Y\cdot X\cdot Y=0$ Применим свойство ассоциативности умножения матриц. Матрицы квадратные одного размера, поэтому произведение определено и существует. Следовательно $X\cdot Y\cdot X\cdot Y=X\cdot(Y\cdot X\cdot Y)=0$. Рассмотрим $X\ne0$, тогда $Y\cdot X\cdot Y$ - делитель нуля. Рассмотрим $Y\cdot X\cdot Y\cdot X$, применим ассоциативность, тогда $(Y\cdot X\cdot Y)\cdot X$ где $X\ne0$, а $Y\cdot X\cdot Y$- делитель нуля, следовательно $(Y\cdot X\cdot Y)\cdot X=0$.

Мне кажется где-то у меня ошибка. Прошу помочь.

[Slav-27]

Конечно ошибка: вы, видимо, думаете, что делитель нуля на что ни умножай, всё равно будет ноль. Это не так.

-- 14.01.2017, 13:24 --

Пример:

$$\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}=0,$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}.$$

[nic v]

Slav-27 в сообщении #1184525 писал(а):

Конечно ошибка: вы, видимо, думаете, что делитель нуля на что ни умножай, всё равно будет ноль. Это, вообще говоря, не так.

Да думаю вы правы. Тем более у меня в решении скрытая коммутативность относительно умножения, что в этом кольце не выполняется. А если попытаться через нильпотентность?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.