2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как рассказать о движениях?
Сообщение07.01.2017, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10800
Казань
Собираюсь читать лекцию учителям по теме "Движения плоскости". Вылезают разные сложности в самом начале.

Например, как показать на школьном, но достаточно строгом уровне, что движение (изометрия) плоскости в себя сюръективно? То же, конечно, для прямой.

По сути это следствие довольно нетривиальных структур, существующих на плоскости. Скажем, размерности (в смысле векторных пространств.. а то и в топологическом смысле).

Времени мало, углубляться в основания геометрии не хочется. Как бы обойтись "малой кровью"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение07.01.2017, 18:02 
Аватара пользователя


08/08/14
903
Москва
"Ясно без обоснования."

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение08.01.2017, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18493
Уфа
Ткну пальцем в небо: например, можно сначала доказать про разложение движения в композицию отражений, а уж доказать то, что одно отражение сюръективно, и что композиция сюръекций сюръективна — понятно, просто.

Эх, жалко, нам таких словей в школе не говорили. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение08.01.2017, 23:34 


19/05/10
3757
Россия
Ну это просто. Берем базис ортогональный, он куда то переходит (в ортогональный базис). Ну и находим по проекциям прообраз сразу.
Хотя лучше так: Вот движения (сослаться на конкретное место, например, в Погорелове). Так как мы люди взрослые, выведем общую формулу этих самых движений (там три строчки). Отсюда сразу видна взаимная однозначность и куча, как сейчас говорят, всякого другого профита.

(Оффтоп)

Учителя люди простые и к земле приближенные, нафига им эти слова дурацкие - сюръекция, биекция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение08.01.2017, 23:54 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
Я ещё проще скажу: движение бывает как вперёд, так и взад. И каждому движению взад (да пусть хоть и тождественному) отвечает соотв. движение вперёд.

А вот зачем это может понадобится учителям -- не скажу, даже под пытками. Т.к. не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12474
Москва
Может, сначала рассказать учителям о программе Клейна соответствия геометрий и групп преобразований, а потом сообщить им, что движения - это как раз группа преобразований, отвечающая Евклидовой геометрии, которую они преподают школьникам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:36 


19/05/10
3757
Россия
ewert в сообщении #1182879 писал(а):
Я ещё проще скажу: движение бывает как вперёд, так и взад. И каждому движению взад (да пусть хоть и тождественному) отвечает соотв. движение вперёд...
Тут надо учитывать определение движения. По Погорелову - это преобразование, сохраняющее расстояние. Обратное в этом случае вроде не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:40 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
mihailm в сообщении #1182883 писал(а):
По Погорелову - это преобразование, сохраняющее расстояние. Обратное в этом случае вроде не очевидно.

А тождественное его и сохраняет. Что даже нетрудно и доказать. И чего ещё желать?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 00:46 


19/05/10
3757
Россия
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 01:12 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
mihailm в сообщении #1182887 писал(а):
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вообще-то да. Оно же заведомо невырожденно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 05:26 
Аватара пользователя


07/01/15
511
Довелось слышать одно шедевральное описание движений.

Нарисуем палкой на земле треугольник. Инвариантность евклидовой геометрии относительно поворота означает, что мы с задумчивым выражением лица можем ходить вокруг треугольника, и при этом с какого бы ракурса мы ни смотрели, мы будем изучать принципиально один и тот же объект!

А инвариантность переноса, сооответственно, означает, что мы можем отходить от треугольника налево, направо, назад и т. д.

Теперь нарисуем маркером треугольник на стеклянной стене между двумя комнатами. Мы можем изучать треугольник, перемещаясь из комнаты в комнату, и при этом мы будем изучать принципиально один и тот же объект. Это инвариантность относительно отражения. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10800
Казань
Ого! Пока я тут в поте лица корпела над лекциями, много чего написали! Спасибо!

ewert в сообщении #1182879 писал(а):
А вот зачем это может понадобится учителям -- не скажу, даже под пытками. Т.к. не знаю.
Ну.. это курсы по олимпиадным задачам. Видимо, потом эти учителя у себя будут кружки вести. Темы выбираем мы (лекторы) сами... А мне не нравится просто задачки решать... это же море разливанное... утонуть можно. Хотелось туда всунуть чего-нибудь теоретическое. А так как мне нравятся группы -- вот на них и ориентируюсь.
Поговорю о целочисленных задачах с выходом на алгебру остатков и всякое малое Ферма. Поговорю о решении геометрических задач с помощью движений.
Ну, а потом -- хлоп: а тут есть общие идеи. Но, конечно, если увижу что им это не надо -- сильно углубляться не буду.

mihailm в сообщении #1182887 писал(а):
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?
Вот и я о том же! В смысле, обратное-то есть. Но из образа плоскости. Но кто сказал, что образ -- не какой-нибудь круг? Или прямая? Нет, очевидно, что не так. Ну, а как доказать? Пока решила сослаться на метод координат...

-- 09.01.2017, 19:20 --

Brukvalub в сообщении #1182880 писал(а):
Может, сначала рассказать учителям о программе Клейна соответствия геометрий и групп преобразований, а потом сообщить им, что движения - это как раз группа преобразований, отвечающая Евклидовой геометрии, которую они преподают школьникам?
Да, это обязательно! Я, впрочем, в прошлый раз (осенью) рассказывала им про аффинную геомтерию, примерно в таком же ключе (через преобразования и инварианты) Но напомнить не помешает!

-- 09.01.2017, 19:22 --

arseniiv в сообщении #1182840 писал(а):
например, можно сначала доказать про разложение движения в композицию отражений,

Я долго мучилась, переставляла материал и так и сяк. Эту теорему я доказываю, но все-таки в конце. И надо ещё внимательно посмотреть, не опирается ли доказательство само на факт сюръективности. Ну... наверное, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 20:11 


19/05/10
3757
Россия
ewert в сообщении #1182890 писал(а):
mihailm в сообщении #1182887 писал(а):
Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вообще-то да. Оно же заведомо невырожденно.
Не, это чепуха. Линейности, то пока нет.

-- Пн янв 09, 2017 20:13:51 --

provincialka в сообщении #1183082 писал(а):
...Вот и я о том же! В смысле, обратное-то есть...
provincialka, я же доказал вам сюръективность в первом сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как рассказать о движениях?
Сообщение09.01.2017, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10800
Казань
mihailm в сообщении #1183120 писал(а):
я же доказал вам сюръективность в первом сообщении.

Да. И я согласилась с такой версией доказательства (потому что это и есть координаты). Просто мне хотелось как-то без лишних сущностей... Поизящнее, минимальными средствами... Впрочем, лучшее -- враг хорошего!

Всем спасибо! Завтра иду читать (и послезавтра).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group