Как рассказать о движениях?

[provincialka]

Собираюсь читать лекцию учителям по теме "Движения плоскости". Вылезают разные сложности в самом начале.

Например, как показать на школьном, но достаточно строгом уровне, что движение (изометрия) плоскости в себя сюръективно? То же, конечно, для прямой.

По сути это следствие довольно нетривиальных структур, существующих на плоскости. Скажем, размерности (в смысле векторных пространств.. а то и в топологическом смысле).

Времени мало, углубляться в основания геометрии не хочется. Как бы обойтись "малой кровью"?

[levtsn]

"Ясно без обоснования."

[arseniiv]

Ткну пальцем в небо: например, можно сначала доказать про разложение движения в композицию отражений, а уж доказать то, что одно отражение сюръективно, и что композиция сюръекций сюръективна — понятно, просто.

Эх, жалко, нам таких словей в школе не говорили.

[mihailm]

Ну это просто. Берем базис ортогональный, он куда то переходит (в ортогональный базис). Ну и находим по проекциям прообраз сразу.
Хотя лучше так: Вот движения (сослаться на конкретное место, например, в Погорелове). Так как мы люди взрослые, выведем общую формулу этих самых движений (там три строчки). Отсюда сразу видна взаимная однозначность и куча, как сейчас говорят, всякого другого профита.

(Оффтоп)

Учителя люди простые и к земле приближенные, нафига им эти слова дурацкие - сюръекция, биекция?

[ewert]

Я ещё проще скажу: движение бывает как вперёд, так и взад. И каждому движению взад (да пусть хоть и тождественному) отвечает соотв. движение вперёд.

А вот зачем это может понадобится учителям -- не скажу, даже под пытками. Т.к. не знаю.

[Brukvalub]

Может, сначала рассказать учителям о программе Клейна соответствия геометрий и групп преобразований, а потом сообщить им, что движения - это как раз группа преобразований, отвечающая Евклидовой геометрии, которую они преподают школьникам?

[mihailm]

ewert в сообщении #1182879 писал(а):

Я ещё проще скажу: движение бывает как вперёд, так и взад. И каждому движению взад (да пусть хоть и тождественному) отвечает соотв. движение вперёд...

Тут надо учитывать определение движения. По Погорелову - это преобразование, сохраняющее расстояние. Обратное в этом случае вроде не очевидно.

[ewert]

mihailm в сообщении #1182883 писал(а):

По Погорелову - это преобразование, сохраняющее расстояние. Обратное в этом случае вроде не очевидно.

А тождественное его и сохраняет. Что даже нетрудно и доказать. И чего ещё желать?...

[mihailm]

Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

[ewert]

mihailm в сообщении #1182887 писал(а):

Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вообще-то да. Оно же заведомо невырожденно.

[SomePupil]

Довелось слышать одно шедевральное описание движений.

Нарисуем палкой на земле треугольник. Инвариантность евклидовой геометрии относительно поворота означает, что мы с задумчивым выражением лица можем ходить вокруг треугольника, и при этом с какого бы ракурса мы ни смотрели, мы будем изучать принципиально один и тот же объект!

А инвариантность переноса, сооответственно, означает, что мы можем отходить от треугольника налево, направо, назад и т. д.

Теперь нарисуем маркером треугольник на стеклянной стене между двумя комнатами. Мы можем изучать треугольник, перемещаясь из комнаты в комнату, и при этом мы будем изучать принципиально один и тот же объект. Это инвариантность относительно отражения.

[provincialka]

Ого! Пока я тут в поте лица корпела над лекциями, много чего написали! Спасибо!

ewert в сообщении #1182879 писал(а):

А вот зачем это может понадобится учителям -- не скажу, даже под пытками. Т.к. не знаю.

Ну.. это курсы по олимпиадным задачам. Видимо, потом эти учителя у себя будут кружки вести. Темы выбираем мы (лекторы) сами... А мне не нравится просто задачки решать... это же море разливанное... утонуть можно. Хотелось туда всунуть чего-нибудь теоретическое. А так как мне нравятся группы -- вот на них и ориентируюсь.
Поговорю о целочисленных задачах с выходом на алгебру остатков и всякое малое Ферма. Поговорю о решении геометрических задач с помощью движений.
Ну, а потом -- хлоп: а тут есть общие идеи. Но, конечно, если увижу что им это не надо -- сильно углубляться не буду.

mihailm в сообщении #1182887 писал(а):

Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вот и я о том же! В смысле, обратное-то есть. Но из образа плоскости. Но кто сказал, что образ -- не какой-нибудь круг? Или прямая? Нет, очевидно, что не так. Ну, а как доказать? Пока решила сослаться на метод координат...

-- 09.01.2017, 19:20 --

Brukvalub в сообщении #1182880 писал(а):

Может, сначала рассказать учителям о программе Клейна соответствия геометрий и групп преобразований, а потом сообщить им, что движения - это как раз группа преобразований, отвечающая Евклидовой геометрии, которую они преподают школьникам?

Да, это обязательно! Я, впрочем, в прошлый раз (осенью) рассказывала им про аффинную геомтерию, примерно в таком же ключе (через преобразования и инварианты) Но напомнить не помешает!

-- 09.01.2017, 19:22 --

arseniiv в сообщении #1182840 писал(а):

например, можно сначала доказать про разложение движения в композицию отражений,

Я долго мучилась, переставляла материал и так и сяк. Эту теорему я доказываю, но все-таки в конце. И надо ещё внимательно посмотреть, не опирается ли доказательство само на факт сюръективности. Ну... наверное, нет.

[mihailm]

ewert в сообщении #1182890 писал(а):

mihailm в сообщении #1182887 писал(а):

Не понял, существование обратного к изометрическому преобразованию, очевидно что ли?

Вообще-то да. Оно же заведомо невырожденно.

Не, это чепуха. Линейности, то пока нет.

-- Пн янв 09, 2017 20:13:51 --

provincialka в сообщении #1183082 писал(а):

...Вот и я о том же! В смысле, обратное-то есть...

provincialka, я же доказал вам сюръективность в первом сообщении.

[provincialka]

mihailm в сообщении #1183120 писал(а):

я же доказал вам сюръективность в первом сообщении.

Да. И я согласилась с такой версией доказательства (потому что это и есть координаты). Просто мне хотелось как-то без лишних сущностей... Поизящнее, минимальными средствами... Впрочем, лучшее -- враг хорошего!

Всем спасибо! Завтра иду читать (и послезавтра).