равномерная непрерывность и условие Липшища

[mihaild]

Да, так. Теперь нужно оценить сверху $\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|$ через $\sum|y(n)|^2$. Для этого вам пригодится неравенство Коши-Буняковского.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1179527 писал(а):

Теперь нужно оценить сверху $\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|$ через $\sum|y(n)|^2$

то есть вот неравенство Коши-Буняковского:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}$
здесь вместо $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|$ нужно подставить $\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|$?
И тогда получается
$\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}$
Нулевую последовательность $x$ нужно подставлять на место $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|$ ? Если подставить нулевую последовательность, то получается
$\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}=0$. И мне не понятно, что дальше

[Mikhail_K]

Aiyyaa в сообщении #1179543 писал(а):

то есть вот неравенство Коши-Буняковского:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}$
здесь вместо $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|$ нужно подставить $\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|$?
И тогда получается
$\sum \|\frac{y(n)}{n+1}\|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}$

А прежде чем написать, Вы задумались, можно или нельзя так "подставлять"?
В неравенство Коши-Буняковского можно подставить что-то вместо $x(n)$ и что-то вместо $y(n)$ - причём в обе его части сразу.
Что именно подставлять - решаете Вы. Это надо догадаться, что именно подставлять в неравенство Коши-Буняковского вместо $x(n)$ и что вместо $y(n)$.
Но так, чтобы в левой части получилось $\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr|$ (знак нормы тут ставить незачем), а в правой части содержалось что-то похожее на $\sum\limits_{n=1}^\infty |y(n)|^2$.
Как это сделать?

[Aiyyaa]

Mikhail_K в сообщении #1179552 писал(а):

Но так, чтобы в левой части получилось $\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr|$ (знак нормы тут ставить незачем), а в правой части содержалось что-то похожее на $\sum\limits_{n=1}^\infty |y(n)|^2$.

то есть для того чтобы в левой части получилось $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} |$ вместо скалярного произведения из левой части неравенства Коши-Буняковского нужно подставить $||F_2x-F_2y||_1$?
потому что
$ ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2x(n)-F_2y(n)|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2y(n)|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | $
И чтобы в правой части содержалось $\sum\limits_{n=1}^\infty |y(n)|^2$, в правую часть неравенства Коши-Буняковского нужно подставить корень из $||x-y||_2$, поскольку

$ ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} $
то есть
$||F_2x-F_2y||_1 \leqslant \sqrt{|x(n)-y(n)|^2}$?

[Mikhail_K]

То есть скажите, что Вы будете подставлять в неравенство Коши-Буняковского вместо $x(n)$ и что вместо $y(n)$.
Подставлять можно что угодно, а какая при этом цель - было написано выше.
Видите ли, нельзя в неравенстве взять и заменить левую или правую часть чем попало.
Можно только подставить что-то вместо $x(n)$ и что-то вместо $y(n)$ - причём одновременно в левой и правой части.

-- 23.12.2016, 22:51 --

Про $F_2$ пока что забудьте.
Вот Вам нужно оценить сверху $\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr|$ с помощью неравенства Коши-Буняковского.
Это отдельная микро-микро-задача, никаких отображений здесь нет.

[Aiyyaa]

Mikhail_K в сообщении #1179557 писал(а):

Вот Вам нужно оценить сверху $\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr|$ с помощью неравенства Коши-Буняковского.

наверное нужно $\Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr|$ разбить на $y=(y(1),y(2),y(3),...)$ и $x=(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\frac{1}{n},...)$? И тогда подставляя в неравенство Коши-Буняковского $x$ и $y$ получается
$\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr| \leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|x(n)|^2}$

[Mikhail_K]

Только Вы $x$ не до конца подставили. Подставьте и в правую часть тоже.

[Aiyyaa]

$\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr| \leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{1}{n+1}|^2}$

[Mikhail_K]

Модуль во втором корне можно не писать, там члены и так положительные, правда?
Что Вы можете сказать про ряд под вторым корнем, кстати? Хотя бы - сходится он или расходится?

[Aiyyaa]

Mikhail_K в сообщении #1179626 писал(а):

Что Вы можете сказать про ряд под вторым корнем, кстати? Хотя бы - сходится он или расходится?

этот ряд сходится. Это можно проверить, используя интегральный признак Коши, то есть поскольку интеграл
$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}\approx\frac{1}{2}$, то этот ряд является сходящимся.

[Mikhail_K]

Верно.
Теперь вспоминайте, что Вам нужно доказать.
Вам нужно доказать, что

Aiyyaa в сообщении #1179510 писал(а):

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon $

При этом теперь Вы знаете, что

Aiyyaa в сообщении #1179622 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr| \leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{1}{n+1}|^2}$

и можете использовать это при доказательстве.
Заметьте, что второй корень здесь - это какое-то фиксированное число, константа, корень из вполне определённой суммы сходящегося ряда. Он не зависит ни от каких иксов, игреков, последовательностей, отображений - это самое обычное число.

Пусть величина $\varepsilon$ Вам известна. Какую тогда Вы должны взять величину $\delta$ (зависящую от $\varepsilon$), чтобы из $\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta$ следовало $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon$?

[Aiyyaa]

Mikhail_K в сообщении #1179672 писал(а):

Какую тогда Вы должны взять величину $\delta$ (зависящую от $\varepsilon$), чтобы из $\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta$ следовало $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon$?

$\delta=\frac{\varepsilon}{\sqrt{\frac{1}{(n+1)^2}}}$?

[Mikhail_K]

Aiyyaa в сообщении #1179680 писал(а):

$\delta=\frac{\varepsilon}{\sqrt{\frac{1}{(n+1)^2}}}$?

Ну, а Вы не просто предполагайте.
Вы покажите, как именно из $\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta$ с этим Вашим значением $\delta$ будет следовать $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon$. Опираясь на то неравенство, которое Вы только что установили.
Заодно, может, и ошибку найдёте.

[Aiyyaa]

есть два неравенства:
$\sum\limits_{n=1}^\infty \Bigl|\frac{y(n)}{n+1}\Bigr| \leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{1}{n+1}|^2}$
и
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon $
отсюда следует, что
$\sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{1}{n+1}|^2} \leqslant \varepsilon$
и из этого неравенства следует, что
$\sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} \leqslant \frac{\varepsilon}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{1}{n+1}|^2}}$
и также известно, что
$\sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|y(n)|^2} < \delta$;
значит
$\frac{\varepsilon}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^\infty|\frac{1}{n+1}|^2}} \leqslant \delta $

[mihaild]

Оригинальный способ подстановки. Есть два неравенства $2 \leqslant 4$ и $2 < 3$. Откуда $4 < 3$.

И у вас нету $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon $, вам нужно это доказать.