равномерная непрерывность и условие Липшища

[Lia]

Mikhail_K

(Оффтоп)

Хорошо. Лучшая.

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1178499 писал(а):

$F_2(x+y)=F_2(x)+F_2(y)$;
$F_2(\alpha x)=\alpha F_2(x)$;

А что такое в этой записи $x, y, \alpha$?

(Оффтоп)

Я опять задаю вопросы, ответы на которые можно переписать из учебника. Как от этого отучиться?

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1178639 писал(а):

А что такое в этой записи $x, y, \alpha$?

$x$ и $y$ это последовательности, принадлежащие пространству $l_2$;
$\alpha \in R$, то есть это какое-то действительное число.

[Aiyyaa]

ну помогите пожалуйста, как проверить является отображение $F_2x$, которое ставит всей бесконечной числовой последовательности $x \in l_2$ последовательность $F_2x=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...) \in l_1$
а)непрерывным
б)равномерно-непрерывным
в)Удовлетворяющим условию Липшица?
$l_2$ и $l_1$ - нормированные пространства. А $F_2 $ - линейный оператор.
Следующие свойства линейного оператора(какого-нибудь произвольного) $G$ в нормированных пространствах эквивалентны:
а) G - непрерывен в точке 0;
б) G - непрерывен в любой точке;
в) G - равномерно-непрерывен;
г)G - ограничен;
А ограниченность линейного оператора и означает удовлетворение условию Липшица.
То есть, чтобы оператор $F_2$ был непрерывным , равномерно-непрерывным и удовлетворяющим условию Липшица, достаточно проверить его непрерывность в точке 0, то есть в нулевой последовательности из $l_2$? Как это сделать?

[mihaild]

Расписать определение равномерной непрерывности в терминах норм с учетом того, что $F_20 = 0$ [тут $0$ слева и справа - это два разных нуля], потом воспользоваться классическими неравенствами.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1179220 писал(а):

потом воспользоваться классическими неравенствами.

какими неравенствами?

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1179222 писал(а):

какими неравенствами?

Это термин, вроде довольно распространенный. Если вы пойдете в поиск с запросом "классические неравенства", то там будет то что нужно.

[Aiyyaa]

определение равномерной непрерывности
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y\in l_2 : \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow \rho (F_2x,F_2y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|Fx(n)-Fy(n)|< \varepsilon $

mihaild в сообщении #1179220 писал(а):

$F_20 = 0$ [тут $0$ слева и справа - это два разных нуля], потом воспользоваться классическими неравенствами.

то есть мне нужно взять последовательность $x=(0,0,0,...)$?
и тогда определение равномерной непрерывности:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y\in l_2 : \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}< \delta \Rightarrow \rho (F_2x,F_2y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|Fy(n)|< \varepsilon $
Что теперь?

[Otta]

(Я очень не люблю давать советы, но)

Aiyyaa в сообщении #1179231 писал(а):

Что теперь?

А перевестись никак?

[mihaild]

Пардон, я что-то не то написал. Нужно было определение непрерывности в нуле, которое вы начали выписывать. Теперь подставьте туда определение $F_2$ (по возможности, не потеряв индексы). И найдите всё-таки, что такое классические неравенства (и заодно - как устроено скалярное произведение в $l_2$; в некоторых формулировках нужного вам неравенства фигурирует именно оно).

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1179259 писал(а):

определение непрерывности в нуле

то есть для определения непрерывности для нулевой последовательности $x=(0,0,0,...)$ нужно взять какую-нибудь последовательность $y=(y(1),y(2),...)$ и тогда:

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2x(n)-F_2y(n)|< \varepsilon $
Так?

mihaild в сообщении #1179259 писал(а):

классические неравенства

мне нужно использовать неравенство Коши-Буняковского:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}$
?

[Aiyyaa]

и так как $x=(0,0,0,...)$, то есть нулевая последовательность, то
$ ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}< \delta $;
$ ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2y(n)|< \varepsilon $
в пространстве $l_2$ определено скалярное произведение между последовательностями
$(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x(n) \cdot y(n)$
и есть неравенство Коши-Буняковского
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)\cdot y(n)|\leqslant \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)|^2} \cdot\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2}$
и мне нужно подставить скалярное произведение в левую часть неравенства Коши-Буняковского? Но тогда получится 0=0, и мне не ясно, что из этого следует. Это доказывает непрерывность отображения $F_2$ в нулевой последовательности?

[mihaild]

Вам нужно доказать

Aiyyaa в сообщении #1179264 писал(а):

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2x(n)-F_2y(n)|< \varepsilon $

Подставьте сюда определение $F_2$ и $x=0$, и упростите. Что останется?

[Aiyyaa]

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2x(n)-F_2y(n)|< \varepsilon $
при $x=(0,0,0,...)$ и $F_2$
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta \Rightarrow ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2x(n)-F_2y(n)|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2y(n)|< \varepsilon $

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1179348 писал(а):

Подставьте сюда определение $F_2$ и $x=0$, и упростите. Что останется?

при $x=(0,0,0,...)$ и $F_2$
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : ||x-y||_2=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta \Rightarrow ||F_2x-F_2y||_1=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2x(n)-F_2y(n)|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2y(n)|< \varepsilon $

так как $F_2=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...) $ мне нужно $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_2y(n)| $ переписать в виде:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} |$;
?
то есть получается вот так:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 : \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|y(n)|^2} < \delta \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\frac{y(n)}{n+1} | < \varepsilon $
?