Два биквадрата в гипотезе Биля.

[Tot]

Вот здесь дана таблица уже решённых случаев гипотезы Ферма-Каталана. Смущает, что тройки степеней идут в порядке возрастания.
1) Правильно ли я понял, что случай двух биквадратов в гипотезе Биля под них подпадает?
2) Стоит ли верить указанному источнику?

[VAL]

Tot в сообщении #1178550 писал(а):

Вот здесь дана таблица уже решённых случаев гипотезы Ферма-Каталана. Смущает, что тройки степеней идут в порядке возрастания.
1) Правильно ли я понял, что случай двух биквадратов в гипотезе Биля под них подпадает?
2) Стоит ли верить указанному источнику?

WolframMathWorld - достаточно надежный источник.
Смысл других Ваших вопросов я не понял

[Tot]

У уравнения $x^p + y^q = z^r$ в натуральных числах при взаимно простых основаниях есть две гипотезы, дополняющие друг друга.
Гипотеза Биля говорит об отсутствии решений при всех степенях не ниже куба.
Гипотеза Ферма-Каталана говорит, что при выполнении условия $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1$, то есть при одном квадрате в степени, система имеет конечное число решений, которые нужно найти.
По ссылке в стартовом сообщении дана таблица вариантов степеней, которые полностью рассмотрены, то есть все потенциальные корни при этих степенях найдены. Среди прочих указаны варианты степеней $(p,q,r)$ равные $(2,4,n)$ и $(3,n,n)$. Первый из них описывает случай гипотезы Биля для двух биквадратов при $n>4$ по неравенству на степени у Ферма-Каталана, а второй даёт случай при $n=3$.
Таким образом случай двух биквадратов гипотезы Биля полностью описывается. Но это утверждение верно лишь в том случае, если в таблице даны варианты с учётом возможных перестановок показателей степеней. Они там все в порядке возрастания, подозрительно. Поэтому и вопрос.
Учитывается ли в таблице перестановка степеней или нет?
Если не учитывается, то первый из приведённых вариантов не работает при разности двух биквадратов, а второй при их сумме. Соответственно эти варианты нужно будет дополнительно рассматривать для полного доказательства гипотезы Биля.

[VAL]

Tot в сообщении #1178863 писал(а):

У уравнения $x^p + y^q = z^r$ в натуральных числах при взаимно простых основаниях есть две гипотезы, дополняющие друг друга.
Гипотеза Биля говорит об отсутствии решений при всех степенях не ниже куба.
Гипотеза Ферма-Каталана говорит, что при выполнении условия $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1$, то есть при одном квадрате в степени, система имеет конечное число решений, которые нужно найти.

Я в курсе. Я не понял Ваших вопросов, а не сути этих гипотез.

Цитата:

По ссылке в стартовом сообщении дана таблица вариантов степеней, которые полностью рассмотрены, то есть все потенциальные корни при этих степенях найдены. Среди прочих указаны варианты степеней $(p,q,r)$ равные $(2,4,n)$ и $(3,n,n)$. Первый из них описывает случай гипотезы Биля для двух биквадратов при $n>4$ по неравенству на степени у Ферма-Каталана, а второй даёт случай при $n=3$.
Таким образом случай двух биквадратов гипотезы Биля полностью описывается. Но это утверждение верно лишь в том случае, если в таблице даны варианты с учётом возможных перестановок показателей степеней. Они там все в порядке возрастания, подозрительно. Поэтому и вопрос.
Учитывается ли в таблице перестановка степеней или нет?
Если не учитывается, то первый из приведённых вариантов не работает при разности двух биквадратов, а второй при их сумме. Соответственно эти варианты нужно будет дополнительно рассматривать для полного доказательства гипотезы Биля.

Вот теперь понял. Вас смутило, что числа в тройках идут в порядке возрастания (но Вы написали, что "тройки идут в порядке возрастания", и это смутило меня).

Вот здесь четко написано про допустимость перестановок чисел внутри троек. С указанием надежных первоисточников.

[Tot]

Дополню свою тему указанием другого источника, чтобы не потерять в дальнейшем.
Даже английская версия Википедии страдает неполнотой, по крайней мере сиюминутной.

John Forbes Nash, Jr., Michael Th. Rassias
Open Problems in Mathematics
На странице 198 в таблице среди прочего указаны источники того, что случай двух биквадратов в гипотезе Биля полностью закрыт.

GENERALIZED FERMAT EQUATIONS : A MISCELLANY
MICHAEL A. BENNETT, IMIN CHEN, SANDER R. DAHMEN AND SOROOSH YAZDANI
Чтобы не сомневаться в случае $a^4\pm b^4=c^3$