Геометрическая задача на экстремум

[h0las]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста с задачкой.
Задание: через точку B, лежащую внутри данного угла A провести прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей площади.
Задачу надо решить именно с применением производной, не аналитически. Моя попытка решения:
Расположим систему координат так, чтобы угол $A$ выходил из начала координат. Координаты точки $B$ возьмем как $(x_0,y_0)$. Уравнение прямой, проходящей через эту точку и пересекающей две образующие угла в некоторых точках $C$ и $D$, имеет вид: $y-y_0 = k(x-x_0)$, где $k$ - неизвестный угловой коэффициент. Уравнение верхней образующей угла имеет вид: $y = \tg A\cdot x$. Уравнение нижней образующей: $y = 0$.
Найдем точку пересечения $C$: $\tg A \cdot x-y_0=k\cdot x-k\cdot x_0$, откуда $x = $ $\frac{y_0-k \cdot x_0}{\tg A - k}$ . Обозначим это как $x_1$ - координаты по $OX$ точки $C$. Тогда $ y_1 =$ $\frac{\tg A \cdot (y_0-k \cdot x_0)}{\tg A - k}$.
Найдем точку пересечения $D$: $0-y_0 = k\cdot x-k\cdot x_0$, откуда $x = - $ $\frac{y_0-k \cdot x_0}{k}$, обозначим это $x_2$ - координата по $OX$ точки $D$, $y_2 = 0$.
Тогда площадь через числовые значения проекций радиус-векторов с найденными координатами примет вид: $S = - $ $\frac{1}{2} $ $\cdot$ $\frac{(y_0 - k\cdot x_0)\cdot (\tg A\cdot y_0 - \tg A\cdot x_0\cdot k)}{k\cdot (\tg A - k)}$.
Ну а теперь самое интересное, найдя производную от этой штуки по $ k$, получим дробь, в числителе которой будет квадратное уравнение относительно $ k$. У меня уравнение получилось такое: $(\tg A\cdot x_0^2 - 2\cdot x_0 \cdot y_0)\cdot k^2 + 2\cdot y_0^2 \cdot k - \tg A \cdot y_0^2 = 0 $. И проблема в том, что я не знаю, как его решать. Даже знак у дискриминанта непонятно как определять. Вот и возникает вопрос: где я ошибся? Или как решить это уравнение, если все верно. Заранее спасибо.

[DeBill]

h0las в сообщении #1178340 писал(а):

где я ошибся?

В знаке у $x$. Однако это не повлияет на нули производной (ну подумаешь, площадь отрицательная...).
Производная найдена правильно. Как решать???? Блин, это ж квадратное уравнение - вот и решайте, как надо.

(Оффтоп)

Адын нюанс: в Вашей формуле для площади, в числителе стоит квадрат чего-то (если тангенс вынести). Так что, если бы Вы дифференцировали дробь с учетом этого, в числителе автоматически получилось бы произведение двух множителей. Найти корни - фактически все равно что разложить на множители... А у Вас они - перемноженные....
И теперь надо решать квадратное, с некрасивыми коэф-тами, здоровенным дискриминантом, да еще углядеть надо, что он - точный квадрат..... Но мы, русские, трудностей не боимся, и героически их преодолеваем (создав их, блин, вначале)....

-- 19.12.2016, 21:38 --

Для проверки: геометрически, несложно доказать, что для минимума, отрезок $CD$ делится точкой $B$ пополам.
Это согласуется с Вашим уравнением: если $2y_0 =\tg A\cdot x_0$, то $k=\infty$ ( уравнение вырождается в линейное, прямая - вертикальна)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Оформите формулы как следует. Чтобы нижние индексы были нижними индексами и проч.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[h0las]

Цитата:

Как решать???? Блин, это ж квадратное уравнение - вот и решайте, как надо.

Прошу прощения, действительно не заметил, что там так все хорошо извлекается. Спасибо!
Вот только появился еще один вопрос. Корни-то нашлись: $k_1$ $=$ $\frac{y_0}{x_0}$ и $k_2$ $ = $ $\frac{\tg A \cdot y_0}{2y_0-t\cdotx_0}$. И вот получается, что когда мы смотрим эти значения $\pm$ что-то в производной или просто подставляем во вторую(но там еще хуже), то непонятно, какой она имеет знак. Получается, что выражение зависит от $\tg A$, а какой у нас угол $A$ - не сказано. Острый он или какой, от этого же знак у тангенса зависит. И вообще там различные действия с $y_0, x_0$ - как считать, какое из них меньше/больше? Или, может быть, можно вместо чего-то подставить конкретные значения? Не совсем понятно.

[mihiv]

Если выбрать корень $k_1$, то мы получим прямую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$, с угловым коэффициентом $k_1=\dfrac {y_0}{x_0}$, но это прямая $AB$, поэтому оставляем корень $k_2$, (который написан с ошибкой).

[h0las]

Цитата:

Если выбрать корень $k_1$, то мы получим прямую, проходящую через точку $(x_0, y_0)$, с угловым коэффициентом $k_1=\dfrac {y_0}{x_0}$, но это прямая $AB$, поэтому оставляем корень $k_2$, (который написан с ошибкой).

Мда, что-то и здесь совсем не подумал, действительно же. А в корне опечатка просто. ;) Спасибо вам большое!