2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение14.12.2016, 21:00 
Аватара пользователя


26/04/15
7
Россия
Дано:
$(\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)+\sin(4x))^4+(\cos(x)+\cos2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+1)^4
=\frac{cos(8x)+3}{4}$
Как пытался решать:
  • Идея - выразить все через $\cos(x)$
  • Пусть $t=\cos(x)$
  • Применяя формулы тригонометрии имеем в левой части:
    • $((2t^2-1)(2t-1)(4t-3))^4=32t^8-64t^6+8t^4+8t^2-11$
Даже, если в преобразованиях ошибся, это не важно. Понятно, что моя идея ни к чему хорошему не приведет. Оценка областей значений левой и правой частей тоже ничего дельного не дала. Возможно, у кого-то есть более изящные идеи и мысли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение14.12.2016, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
Ну три корня (на периоде) видны чётко. Есть ещё парочка, наверное. Можно использовать сдвинутую чётность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение14.12.2016, 21:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
icu в сообщении #1177003 писал(а):
Идея - выразить все через $\cos(x)$

Это хорошо. Но - рано.
В продвинутых школах учат следующему приему, позволяющему сворачивать сумму синусов/косинусов углов, образующих арифметическую прогрессию: надо сумму домножить (и, конечно, разделить тут же) на синус половины разности прогрессии (в вашем случае - на синус половинного угла). После преобразования произведений в суммы, все почти сократится. А в конце - преобразуйте снова суммму/разность в произведение - и будет Вам щасте (в виде правой части, которая нежданно проявится слева).

(Оффтоп)

Кнешно, надо еще помнить про формулы понижения, позволяющие, например, сумму четвертых степеней синуса и косинуса выразить через косинус учетверного угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение15.12.2016, 12:12 
Аватара пользователя


26/04/15
7
Россия
Спасибо за предложенную идею. Все свернулось в
$(\frac{\sin3x\sin2x}{\sin(\frac{x}{2})})^4+(1-\frac{\sin3x\sin2x}{\sin(\frac{x}{2})})^4=\frac{3+\cos8x}{4}$.
Однако в таком виде правая часть не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение15.12.2016, 12:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
icu
Арифм. ошибки: в первой скобке должно быть не 3, а $\frac{5}{2}$
Во второй : аналогично. А также: не синус, а косинус двойного. И: перед переделкой разности в произведение, нужно было еще и с единичкой сложить - опять упростится (или: во второй скобке - ар прогр. аргументов начинается с нуля!). И вот теперь появится сумма четвертых степеней синуса и косинуса - что и равно правой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение15.12.2016, 13:49 
Аватара пользователя


26/04/15
7
Россия
Спасибо за замечание!
Получилось $(\frac{\sin2x}{\sin0.5x})^4 \cdot\frac{\cos10x+3}{4}=\frac{\cos8x+3}{4}$
Но правую часть опять не могу получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Много кратных углов.
Сообщение15.12.2016, 15:18 
Аватара пользователя


26/04/15
7
Россия
DeBill
Опять ошибся. Все расщепилось. Спасибо за сопровождение и помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group