Тригонометрия. Много кратных углов.

[icu]

Дано:
$(\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)+\sin(4x))^4+(\cos(x)+\cos2x)+\cos(3x)+\cos(4x)+1)^4 =\frac{cos(8x)+3}{4}$
Как пытался решать:

• Идея - выразить все через $\cos(x)$
• Пусть $t=\cos(x)$
• Применяя формулы тригонометрии имеем в левой части:
  
  • $((2t^2-1)(2t-1)(4t-3))^4=32t^8-64t^6+8t^4+8t^2-11$

Даже, если в преобразованиях ошибся, это не важно. Понятно, что моя идея ни к чему хорошему не приведет. Оценка областей значений левой и правой частей тоже ничего дельного не дала. Возможно, у кого-то есть более изящные идеи и мысли?

[gris]

Ну три корня (на периоде) видны чётко. Есть ещё парочка, наверное. Можно использовать сдвинутую чётность.

[DeBill]

icu в сообщении #1177003 писал(а):

Идея - выразить все через $\cos(x)$

Это хорошо. Но - рано.
В продвинутых школах учат следующему приему, позволяющему сворачивать сумму синусов/косинусов углов, образующих арифметическую прогрессию: надо сумму домножить (и, конечно, разделить тут же) на синус половины разности прогрессии (в вашем случае - на синус половинного угла). После преобразования произведений в суммы, все почти сократится. А в конце - преобразуйте снова суммму/разность в произведение - и будет Вам щасте (в виде правой части, которая нежданно проявится слева).

(Оффтоп)

Кнешно, надо еще помнить про формулы понижения, позволяющие, например, сумму четвертых степеней синуса и косинуса выразить через косинус учетверного угла.

[icu]

Спасибо за предложенную идею. Все свернулось в
$(\frac{\sin3x\sin2x}{\sin(\frac{x}{2})})^4+(1-\frac{\sin3x\sin2x}{\sin(\frac{x}{2})})^4=\frac{3+\cos8x}{4}$.
Однако в таком виде правая часть не получается.

[DeBill]

icu
Арифм. ошибки: в первой скобке должно быть не 3, а $\frac{5}{2}$
Во второй : аналогично. А также: не синус, а косинус двойного. И: перед переделкой разности в произведение, нужно было еще и с единичкой сложить - опять упростится (или: во второй скобке - ар прогр. аргументов начинается с нуля!). И вот теперь появится сумма четвертых степеней синуса и косинуса - что и равно правой части.

[icu]

Спасибо за замечание!
Получилось $(\frac{\sin2x}{\sin0.5x})^4 \cdot\frac{\cos10x+3}{4}=\frac{\cos8x+3}{4}$
Но правую часть опять не могу получить.

[icu]

DeBill
Опять ошибся. Все расщепилось. Спасибо за сопровождение и помощь!