2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение08.12.2016, 16:13 
Аватара пользователя


01/12/11
5386
В десятичной системе счисления существуют только три репдижита, каждый из которых превышает квадрат целого числа на 1.
Это репдижиты: 1, 2 и 5 (в своё время В. Сендеров предложил эту задачу на турнире им. А. П. Савина).
Как некоторым из вас уже удалось заметить, все три вышеуказанных репдижита однозначны.

В другой позиционной системе счисления, скажем, в четверичной, можно найти двузначный репдижит, на единицу больший квадрата целого числа. Например, квадрат двойки, увеличенный на 1, записывается в четверичной системе следующим образом: 11.

Было бы, на мой взгляд, крайне любопытно заняться поиском более длинных подобных репдижитов в различных позиционных системах счисления.
А может, более длинных попросту не существует?
А если существуют, могут ли они быть сколь угодно длинными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение08.12.2016, 16:41 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
$$5^2+1=26=222_3$$

$$29^2+1=842=222_{20}$$

ну и дальше - уравнение Пелля.

Другая серия начинается с $$28^2+1=785=555_{12}$$.
И мне кажется, что трехзначное решение будет для любой цифры, равной сумме двух квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение08.12.2016, 16:53 
Аватара пользователя


01/12/11
5386
kknop
Большое спасибо!
А четырёх- и более значные бывают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение08.12.2016, 17:16 
Заслуженный участник


04/03/09
660
Парочка четырехзначных примеров:
$2222_{4}=13^2+1$
$5555_{60}=1048^2+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение08.12.2016, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12735
Если без теории, то удобнее переписать уравнение так:
$\dfrac{m\cdot(k^l-1)}{k-1}=(n^2+1)$,
где $k$-основание системы, $l$ - количество повторений цифры $m<k$, $n$- натуральное число.
Сразу можно увидеть редджипы типа $AAAAAAAAAA_{11}=161051^2+1$
++ Ой, перепутал плюс и минус. Yadryara установил, что $AAAAAAAAAA_{11}=161051^2-1$ :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение08.12.2016, 21:54 
Аватара пользователя


29/04/13
2794
Чуток ошиблись: https://www.wolframalpha.com/input/?i=AAAAAAAAAA_11-161051%5E2

$AAAAAAAAAA_{11}=161051^2-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Репдижиты, на единицу большие квадратов
Сообщение10.12.2016, 16:03 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
Ага, то бишь k=m+1 при четном l сразу даёт решение для любого основания системы счисления. Ой, для неправильного уравнения

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group